Matemáticas II · País Vasco 2012

Dado el sistema $$\begin{cases} (m - 1) x + y + z = m \\ x + (m - 1) y + z = 0 \\ y + z = 1 \end{cases}$$

Sea $B$ la matriz $B = \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix}$ e $I$ la matriz identidad $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Dados los puntos $A(-1, 3, 2)$, $B(2, -1, -1)$ y $C(a - 2, 7, b)$

Se consideran los planos $3x + 4y + 5z = 0$, $2x + y + z = 0$ y el punto $A(-1, 2, 1)$.

Dada la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$

Una tienda vende aceite a $2$ euros el litro. Al vender $x$ litros los costes de todo tipo (expresados en euros) son $0{,}5x + Cx^2$. Se sabe que el beneficio máximo se obtiene vendiendo $750$ litros. Encontrar el valor de $C$ y el beneficio máximo obtenido.

Calcula la integral $$\int \frac{5x - 2}{x^2 - 4} dx$$

Dadas las tres funciones: $f(x) = x$; $g(x) = x^2$; $h(x) = x^2 / 4$:

Se llama número capicúa al número entero positivo que expresado en notación decimal se lee de igual forma de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como por ejemplo los números 232 y 8778. Determinar cuántos números capicúas hay menores que $100.000$.

Si en la sucesión de números naturales: $$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, \dots$$ se suprimen los cuarenta primeros múltiplos de $5$ queda una nueva sucesión. Calcula la suma de los $160$ primeros términos de la nueva sucesión.