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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2012Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2012

5 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Este examen tiene dos opciones. Debes contestar a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Se podrán utilizar calculadoras no programables.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el sistema{(m−1)x+y+z=mx+(m−1)y+z=0y+z=1\begin{cases} (m - 1) x + y + z = m \\ x + (m - 1) y + z = 0 \\ y + z = 1 \end{cases}
a
Discutirlo según los valores del parámetro mm.1,25 pts
b
Resolverlo, si es posible, para los casos m=0m = 0 y m=3m = 3.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos A(−1,3,2)A(-1, 3, 2), B(2,−1,−1)B(2, -1, -1) y C(a−2,7,b)C(a - 2, 7, b)
a
Determinar los valores de los parámetros aa y bb para que dichos puntos estén alineados.1 pt
b
Para los valores calculados en el apartado anterior, obtener la ecuación el plano que pasa por el punto P(0,−3,5)P(0, -3, 5) y es perpendicular al vector AC⃗\vec{AC}.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C
a
Hallar los valores de los parámetros AA, BB y CC para que la gráfica de ff pase por el punto (1,1)(1, 1), tenga un máximo en x=−4x = -4 y una tangente horizontal para x=0x = 0.0,75 pts
b
Determinar los extremos relativos, sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y dibujar la gráfica de la función.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcula la integral∫5x−2x2−4dx\int \frac{5x - 2}{x^2 - 4} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Se llama número capicúa al número entero positivo que expresado en notación decimal se lee de igual forma de derecha a izquierda que de izquierda a derecha, como por ejemplo los números 232 y 8778. Determinar cuántos números capicúas hay menores que 100.000100.000.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Sea BB la matriz B=(1+m111−m)B = \begin{pmatrix} 1 + m & 1 \\ 1 & 1 - m \end{pmatrix} e II la matriz identidad I=(1001)I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
a
Hallar para qué valores de mm se verifica que B2=2B+IB^2 = 2B + I1,25 pts
b
Calcular la inversa de BB para los valores de mm del apartado anterior.0,75 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se consideran los planos 3x+4y+5z=03x + 4y + 5z = 0, 2x+y+z=02x + y + z = 0 y el punto A(−1,2,1)A(-1, 2, 1).
a
Halla el plano que pasa por el punto AA y por la recta intersección de los planos anteriores.1 pt
b
Calcula un plano que pase por el punto B(0,0,−3)B(0, 0, -3) y que sea paralelo al plano del apartado anterior.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Una tienda vende aceite a 22 euros el litro. Al vender xx litros los costes de todo tipo (expresados en euros) son 0,5x+Cx20{,}5x + Cx^2. Se sabe que el beneficio máximo se obtiene vendiendo 750750 litros. Encontrar el valor de CC y el beneficio máximo obtenido.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Dadas las tres funciones: f(x)=xf(x) = x; g(x)=x2g(x) = x^2; h(x)=x2/4h(x) = x^2 / 4:
a
Dibuja el recinto finito limitado por las gráficas de las tres funciones.1,25 pts
b
Calcula el área de dicho recinto.0,75 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Si en la sucesión de números naturales:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,…1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, \dotsse suprimen los cuarenta primeros múltiplos de 55 queda una nueva sucesión. Calcula la suma de los 160160 primeros términos de la nueva sucesión.
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