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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2019

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. d) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función ff definida porf(x)=x2+3x+42x+2parax≠−1f(x) = \frac{x^2 + 3x + 4}{2x + 2} \quad \text{para} \quad x \neq -1
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,5 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función f:(0,+∞)→Rf: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=1+ex1−exf(x) = \frac{1 + e^x}{1 - e^x}. Halla la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (1,1)(1, 1). (Sugerencia: cambio de variable t=ext = e^x).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Calcula todas las matrices X=(abcd)X = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} tales que a+d=1a + d = 1, tienen determinante 11 y cumplen AX=XAAX = XA, siendo A=(0−110)A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera la recta r≡x−2−1=y−23=z−11r \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 1}{1} y los planos π1≡x=0\pi_1 \equiv x = 0 y π2≡y=0\pi_2 \equiv y = 0.
a
Halla los puntos de la recta rr que equidistan de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1,25 pts
b
Determina la posición relativa de la recta rr y la recta intersección de los planos π1\pi_1 y π2\pi_2.1,25 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=(x−a)exf(x) = (x - a)e^x.
a
Determina aa sabiendo que la función tiene un punto crítico en x=0x = 0.1,25 pts
b
Para a=1a = 1, calcula los puntos de inflexión de la gráfica de ff.1,25 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considera las funciones f:(−2,+∞)→Rf: (-2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}, definida por f(x)=ln⁡(x+2)f(x) = \ln(x + 2) (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano) y g:R→Rg: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, definida por g(x)=12(x−3)g(x) = \frac{1}{2}(x - 3).
a
Esboza el recinto que determinan la gráfica de ff, la gráfica de gg, la recta x=1x = 1 y la recta x=3x = 3. (No es necesario calcular los puntos de corte entre las dos gráficas).1 pt
b
Determina el área del recinto anterior.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Dadas las matrices A=(2−m12m−11m1m11)A = \begin{pmatrix} 2 - m & 1 & 2m - 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(2m2−1m1)B = \begin{pmatrix} 2m^2 - 1 \\ m \\ 1 \end{pmatrix}, considera el sistema de ecuaciones lineales dado por XtA=BtX^t A = B^t, donde XtX^t, BtB^t denotan las traspuestas. Discútelo según los distintos valores de mm.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0), B(1,0,2)B(1, 0, 2) y C(0,2,1)C(0, 2, 1).
a
Halla el área de dicho triángulo.1,25 pts
b
Calcula el coseno del ángulo en el vértice AA.1,25 pts
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