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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2026Ordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2026

4 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las cuatro preguntas: los dos apartados de la 1 y una de las dos opciones en cada una de las preguntas 2, 3 y 4.
Puntuación
Cada pregunta vale 2,5 puntos.
Además
Todas las respuestas deben estar razonadamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad. El barómetro de octubre de 2025 del Centro de Investigaciones Sociológicas (CIS) recoge las entrevistas realizadas a una muestra de 4029 personas. La Pregunta 10R plantea al entrevistado: “¿Cuál es, a su juicio, el principal problema que existe actualmente en España? ¿Y el segundo? ¿Y el tercero?” De los 333 entrevistados entre 18 y 24 años, un 35,5 %35{,}5\,\% mencionan como alguno de los tres problemas “la vivienda”, un 26,7 %26{,}7\,\% “la inmigración” y un 25,1 %25{,}1\,\% “los problemas relacionados con la calidad del empleo”. En los barómetros de septiembre y julio de 2025, “la vivienda” fue mencionada como respuesta a la Pregunta 10R por el 31,9 %31{,}9\,\% y el 29,3 %29{,}3\,\% de los jóvenes en la misma franja de edad, respectivamente.
a
Calcule el intervalo de confianza al 95 %95\,\% para la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España en octubre de 2025.1,5 pts
b
Para el barómetro de noviembre se desea volver a estimar la proporción de jóvenes de 18 a 24 años que consideran la vivienda como uno de los tres principales problemas de España. Se quiere que esta estimación tenga un margen de error de cinco puntos porcentuales y un nivel de confianza del 97 %97\,\%. Calcule el tamaño de muestra que sería necesario asumiendo que la proporción es p=0,355p = 0{,}355.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Considere la función real de variable realf(x)=x(1−x2)+e−λx,f(x) = x(1-x^2) + e^{-\lambda x},donde λ\lambda es un parámetro real sin especificar.
a
Calcule F(x)F(x), la primitiva de f(x)f(x), tal que F(0)=1F(0) = 1.1 pt
b
Obtenga el área entre la curva de f(x)f(x) y el eje horizontal en el intervalo [0,1][0, 1].1 pt
c
¿Para qué valores de λ\lambda es f′(0)f'(0) positiva?0,5 pts
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Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Sea la función real de variable real definida porf(x)={x+2(x−2)2si x<0,x2+x3x2+1si x≥0.f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+2}{(x-2)^2} & \text{si } x < 0, \\ \dfrac{x^2+x^3}{x^2+1} & \text{si } x \geq 0. \end{cases}
a
Determine razonadamente el dominio de f(x)f(x).0,5 pts
b
Estudie la continuidad de f(x)f(x) en x=0x = 0.0,5 pts
c
Calcule la asíntota de f(x)f(x) cuando x→−∞x \to -\infty.0,5 pts
d
Calcule la asíntota de f(x)f(x) cuando x→+∞x \to +\infty.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Considere las siguientes matrices:A=(1/213/211/213/211/2)A = \begin{pmatrix}1/2 & 1 & 3/2 \\ 1 & 1/2 & 1 \\ 3/2 & 1 & 1/2\end{pmatrix}y B=(10001/20001/4).\text{y } B = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/4\end{pmatrix}.
a
Calcule la matriz XX en la ecuación matricial AXB=A+BAXB = A+B.1,5 pts
b
Calcule el determinante ∣C2B∣|C^2 B|, siendo C=2(A−1)tC = 2(A^{-1})^t Nota: MtM^t denota la matriz traspuesta de la matriz MM.1 pt
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Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Considere la región SS del plano delimitada por las siguientes restricciones:x≤63y−2x≤103y≥2−2xx≤10−yy≥x−6.\begin{gathered}x \leq 6\qquad 3y-2x \leq 10\\3y \geq 2-2x\qquad x \leq 10-y\\y \geq x-6.\end{gathered}
a
Calcule las coordenadas de los vértices de SS y represente gráficamente la región SS.2 pts
b
Se desea minimizar el triple de yy menos la mitad de xx en SS. Indique el valor mínimo y el punto de la región en el cual se alcanza.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

Sean AA, BB y CC tres sucesos de los que se conoce la siguiente información:P(A)=0,4P(B)=0,6P(C)=0,5P(A∣C)=0,6P(B∣C)=0,8P(A∩B∣C)=P(A∣C)P(B∣C)P(A∩B∣C‾)=0,08.\begin{gathered}P(A) = 0{,}4\qquad P(B) = 0{,}6\\P(C) = 0{,}5\\P(A\mid C) = 0{,}6\qquad P(B\mid C) = 0{,}8\\P(A\cap B\mid C) = P(A\mid C)P(B\mid C)\\P(A\cap B\mid\overline{C}) = 0{,}08.\end{gathered}
a
Determine si AA y BB son independientes.1 pt
b
Determine la probabilidad de que CC ocurra sabiendo que AA y BB ocurrieron. Nota: S‾\overline{S} denota el suceso complementario (contrario) del suceso SS.1,5 pts
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Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

En un laboratorio farmacéutico se realiza un test de control de calidad para detectar productos defectuosos antes de su distribución. Se conoce la siguiente información: - El 3 %3\,\% de los productos presenta un defecto grave, el 7 %7\,\% un defecto leve y el resto no presenta defectos. - Si el defecto es grave, el test da positivo el 98 %98\,\% de las veces. - Si el defecto es leve, el test da positivo el 80 %80\,\% de las veces. - Si el producto no tiene defectos, el test da positivo el 5 %5\,\% de las veces.
a
Calcule la probabilidad de que el test de un producto seleccionado al azar dé negativo.1,2 pts
b
Si el test de un producto ha dado positivo, calcule la probabilidad de que el defecto sea grave.1,3 pts
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Formulario

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ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de zz.
Área bajo la curva normal hasta un valor positivo de z Campana normal simétrica con el área sombreada a la izquierda de z. Ejes con marcas sin valores numéricos. z
zz,00{,}00,01{,}01,02{,}02,03{,}03,04{,}04,05{,}05,06{,}06,07{,}07,08{,}08,09{,}09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77030,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99540,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990