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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2025Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2025

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 8 preguntas optativas del mesmo valor, de las que el/la estudiantes deben elegir un máximo de 4 preguntas, cuales quieira de ellas..Todas las respectas deben estar devidamente justificadas.Tiempo máximo: 1 horas y 30 horas.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Estudia elsiguiente planta de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real mm y resuélvelo en loscasos enque sea compatible:{(m2−3m)x−my+2mz=3(m2−3m)x+3y+3mz=m+9(3m−m2)x+my−mz=0\begin{cases} (m^2-3m) x - my + 2mz = 3 \\ (m^2-3m) x + 3y + 3mz = m + 9 \\ (3m-m^2) x + my - mz = 0 \end{cases}Menciona elresultado teorico empleado y justificua su uso.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Calcula la ecuación continua de la recta tt que pasa por el punto P(2,0,−1)P(2, 0, -1) y corta a las siguientes rectas:s≡{2x+y−3z−6=02x−3z−8=0r≡x+12=y1=z+21s \equiv \begin{cases} 2x + y - 3z - 6 = 0 \\ 2x - 3z - 8 = 0 \end{cases} \quad r \equiv \frac{x + 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{1}
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Ejercicio 1 · Opción C

1Opción C
2,5 puntos
Bloque C
Sea f(x)=cos⁡(π2⋅x)⋅ln⁡(x2+x−5)f(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot x\right) \cdot \ln(x^2 + x - 5).
a
Demuestra que ff es continua en [2,3][2, 3].0,75 pts
b
Demuestra que existe un punto cc en (2,3)(2, 3) tal que f′(c)=0f'(c) = 0. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso.1,75 pts
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Ejercicio 1 · Opción P

1Opción P
2,5 puntos
Bloque P
Para la realizacion de un trabajo se precisean de 80 horaso valor de una solaquina. Cadaquina en functiamente generaunos gastos de 10 euros por puesta en marcha y de otros 5 euros por cada hora de uso. Sabiendemásque por cada hora que dure el trabajo hay que pagar 18 euros a un unico operario que supervisa laarea, calcula el numero de macuinas a using para que el gasto sea minimum. Justifica su condidión de minimum. (Observacion: el tiempo necasario para realizar el trabajo es inversamente proportional al numero de macuinas empleadas).
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sean AA y BB dos matrices cuadradas 3×33 \times 3 tales que ∣A∣=1/4|A| = 1/4 y ∣B∣=2|B| = 2. Calcula ∣C∣|C| sabiendque C=2⋅(A⋅Bt)2⋅(Bt)−1C = 2 \cdot (A \cdot B^t)^2 \cdot (B^t)^{-1}.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos A(1,0,−1)A(1, 0, -1) y B(1,4,2)B(1, 4, 2) y los otros dos vértices están contenidos en la recta que pasa por el punto P(6,−4,−4)P(6, -4, -4).
Diagrama de un cuadrado ABCD con el lado CD sobre una recta r que contiene al punto P.
a
Calcula la ecuación de dicha recta.0,5 pts
b
Calcula la ecuación del plano perpendicular al segmento AB‾\overline{AB} que pasa por AA.0,75 pts
c
Calcula los otros dos vértices del cuadrado.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción C

2Opción C
2,5 puntos
Bloque C
Se considera la función f(x)=3x3x2−4f(x) = \frac{3x^3}{x^2 - 4}. Estudia sus asíntotas y simetrías. Estudia la aproximación de la función a sus asíntotas verticales.
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Ejercicio 2 · Opción P

2Opción P
2,5 puntos
Bloque P
Sendo p(t)=0,15+sen⁡2(π/2⋅t)⋅cos⁡(π/2⋅t)p(t) = 0{,}15 + \sen^2(\pi/2 \cdot t) \cdot \cos(\pi/2 \cdot t) el precisedo kilowatio/hora de la luz domestica entre los instantes t0=0t_0 = 0 y t1=1t_1 = 1:
a
Calcula los instantes en los que el preciseo ha sido mayor y en los que ha sido minimo.1,25 pts
b
Calcula el preciseo medio pp de la luz entre los instantes t0=0t_0 = 0 y t1=1t_1 = 1, sabiendque el valor mediou de una funciOn continua en el intervalo [a,b][a, b] (a<ba < b) es: fˉ=1b−a∫abf(x) dx\bar{f} = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx Observacion: Recuerda la necessities de trabajo en radianes.1,25 pts
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