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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSCastilla y LeónPAU 2015Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Castilla y León 2015

4 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. OPTATIVIDAD: EL ALUMNO DEBERÁ ESCOGER UNA DE LAS DOS OPCIONES Y DESARROLLAR LAS PREGUNTAS DE LA MISMA. Cada pregunta de la 1 a la 3 se puntuará sobre un máximo de 3 puntos. La pregunta 4 se puntuará sobre un máximo de 1 punto. La calificación final se obtiene sumando las puntuaciones de las cuatro preguntas. Deben figurar explícitamente las operaciones no triviales, de modo que puedan reconstruirse la argumentación lógica y los cálculos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
Calcula todos los parámetros reales aa y bb que hacen que AX−XA=0AX - XA = 0, siendo A=(−1−237)A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 3 & 7 \end{pmatrix} y X=(a2−3b)X = \begin{pmatrix} a & 2 \\ -3 & b \end{pmatrix}.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
El propietario de un cine llena diariamente las 100 butacas de la sala, cobrando 4 euros por cada entrada. El dueño tiene la experiencia de que por cada euro que aumente el precio de la entrada acuden 10 espectadores menos.
a
Halla la expresión de la función de los ingresos diarios del cine dependiendo del aumento del precio de la entrada.
b
Determina el precio de la entrada para que los ingresos diarios del propietario sean máximos. ¿Cuántos espectadores acudirán al cine en ese momento? ¿Cuáles serán los ingresos diarios que obtendrá el propietario con ese precio?
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Ejercicio 3

3
3 puntos
La temperatura corporal es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 36,7∘C36{,}7^\circ\text{C} y desviación típica 3,8∘C3{,}8^\circ\text{C}. Se elige aleatoriamente una muestra de 100 personas.
a
Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra sea menor que 36,9∘C36{,}9^\circ\text{C}.
b
Calcula la probabilidad de que la temperatura corporal media de la muestra esté comprendida entre 36,5∘C36{,}5^\circ\text{C} y 37,3∘C37{,}3^\circ\text{C}.
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Ejercicio 4

4
1 punto
El 60% de los clientes de una panadería compran pan y el 30% no compran ni pan ni bollería. ¿Qué porcentaje de clientes compran bollería y no compran pan?
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Ejercicio 1

1
3 puntos
Un heladero artesano elabora dos tipos de helados A y B que vende cada día. Los helados tipo A llevan 1 gramo de nata y los helados tipo B llevan 2 gramos de chocolate. Se dispone de 200 gramos de nata, 400 gramos de chocolate y le da tiempo a elaborar como máximo 350 helados diariamente. Por cada helado tipo A obtiene un beneficio de 1,5 euros y por cada helado tipo B el beneficio es de 1 euro. Utilizando técnicas de programación lineal, determina las unidades de cada tipo de helado que debe elaborar diariamente para que su beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la función f(x)=−x3+1f(x) = -x^3 + 1
a
Estudia su crecimiento y decrecimiento, y calcula sus puntos de inflexión.
b
Determina la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en x=1x = 1.
c
Representa gráficamente la función f(x)f(x).
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Ejercicio 3

3
3 puntos
En el año 2014, el estudio B2C-2014 sobre Comercio Electrónico aseguraba que el 12,5% de los compradores on-line fueron nuevos compradores. El importe gastado on-line variaba según el tipo de comprador: el 26,8% de los nuevos compradores gastaban menos de 50 euros, mientras que sólo el 12% de los antiguos compradores gastaban menos de esa cantidad. Se elige un comprador on-line al azar.
a
Calcula la probabilidad de que gastara menos de 50 euros en las compras on-line.
b
Si el comprador on-line gastó menos de 50 euros, ¿cuál es la probabilidad de que fuera nuevo comprador?
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Ejercicio 4

4
1 punto
Calcula el valor de P(B)P(B) sabiendo que los sucesos A y B son independientes y que P(A∪B)=58P(A \cup B) = \frac{5}{8}, P(A)=14P(A) = \frac{1}{4}.
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