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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2019Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2019

5 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. La prueba consta de dos opciones A y B, de las cuales el alumno deberá elegir una. Cada opción consta de 5 ejercicios. En el caso de realizar ejercicios de opciones diferentes, se considerará como elegida la correspondiente al primer ejercicio presentado por el alumno. Cuando la solución de una cuestión se base en un cálculo, éste deberá incluirse en la respuesta dada.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Discute en función del parámetro a∈Ra \in \mathbb{R} el siguiente sistema de ecuaciones:
Datos
  • {3x+2y+az=1ax+y−z=25x+3y+z=2a\begin{cases} 3x + 2y + az = 1 \\ ax + y - z = 2 \\ 5x + 3y + z = 2a \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sean los puntos A=(0,0,2)A = (0, 0, 2), B=(2,0,1)B = (2, 0, 1), C=(0,2,1)C = (0, 2, 1) y D=(−2,2,−1)D = (-2, 2, -1).
a
Halle la ecuación del plano Π\Pi determinado por los puntos AA, BB y CC.0,75 pts
b
Demuestre que los cuatro puntos no son coplanarios.0,5 pts
c
Calcule el área del triángulo formado por los puntos BB, CC y DD.0,75 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Demuestre que la ecuación sen⁡(x2)=x−1\operatorname{sen}(x^2) = x - 1 tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Sean las funciones f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4 y g(x)=12x2−2g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2.
a
Represente la región plana encerrada por las funciones f(x)f(x) y g(x)g(x).0,5 pts
b
Calcule el área de la región anterior.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
En una clase hay 12 chicas y 8 chicos. 8 de las 12 chicas y 6 de los 8 chicos utilizan Facebook. Se escoge un estudiante al azar, determine las siguientes probabilidades:
a
Sea chica y utilice Facebook.1 pt
b
Sea chico, sabiendo que utiliza Facebook.1 pt
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(3−11λ1λ0−λ−1)A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{pmatrix}
a
Halle los valores de λ∈R\lambda \in \mathbb{R} para los que la matriz AA tenga inversa.1 pt
b
Halle, si existe, la inversa de la matriz para λ=1\lambda = 1.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos A=(1,0,2)A = (1, 0, 2) y B=(3,−2,−2)B = (3, -2, -2). Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento ABAB que pasa por su punto medio.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función f(x)=x2exf(x) = x^2 e^x.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Resuelve la integral ∫5x+3x2+2x−3dx\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Supongamos que en una población de Extremadura tienen una estatura que se distribuye según una normal de media 170 cm170\,\text{cm} y desviación típica 10 cm10\,\text{cm}.
Datos
  • Distribución N(170,10)N(170, 10)
Gráfica de la distribución normal estándar N(0,1) mostrando el área bajo la curva F(z)
a
¿Qué porcentaje de habitantes miden entre 170170 y 185 cm185\,\text{cm}?1 pt
b
¿A partir de qué altura están el 33%33\% de los habitantes más altos?1 pt
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