Matemáticas II · Extremadura 2019

Discute en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$ el siguiente sistema de ecuaciones:

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{pmatrix}$

Sean los puntos $A = (0, 0, 2)$, $B = (2, 0, 1)$, $C = (0, 2, 1)$ y $D = (-2, 2, -1)$.

Dados los puntos $A = (1, 0, 2)$ y $B = (3, -2, -2)$. Calcule la ecuación del plano perpendicular al segmento $AB$ que pasa por su punto medio.

Demuestre que la ecuación $$\operatorname{sen}(x^2) = x - 1$$ tiene una solución positiva. Razone la respuesta, exponiendo el teorema (o resultado) que justifique la solución.

Estudie la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la función $f(x) = x^2 e^x$.

Sean las funciones $f(x) = x^2 - 4$ y $g(x) = \frac{1}{2}x^2 - 2$.

Resuelve la integral $$\int \frac{5x + 3}{x^2 + 2x - 3} dx$$

En una clase hay 12 chicas y 8 chicos. 8 de las 12 chicas y 6 de los 8 chicos utilizan Facebook. Se escoge un estudiante al azar, determine las siguientes probabilidades:

Supongamos que en una población de Extremadura tienen una estatura que se distribuye según una normal de media $170\,\text{cm}$ y desviación típica $10\,\text{cm}$.