Matemáticas CCSS · Andalucía 2012

Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de un pantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo.

Una fábrica produce dos tipos de productos, A y B, que distribuye a tres clientes. En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A y 5 de B, el segundo cliente 3 de A y 7 de B, y el tercer cliente 4 de A y 6 de B. En el mes de febrero el primer cliente y el segundo duplicaron las compras del mes anterior, y el tercer cliente compró de cada producto una unidad más de las que compró en enero. En marzo el primer cliente no compró nada, y el segundo y el tercero compraron lo mismo que en febrero.

Determine los valores que han de tomar $a$ y $b$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} -x^2 + ax - 7 & \text{si} & x < 1 \\ 4x - b & \text{si} & x \geq 1 \end{cases}$$ sea derivable en $\mathbb{R}$.

En el mar hay una mancha producida por una erupción submarina. La superficie afectada, en $\text{km}^2$, viene dada por la función $f(t) = \frac{11t + 20}{t + 2}$ siendo $t$ el tiempo transcurrido desde que empezamos a observarla.

Un pescador tiene tres tipos de carnada de las que sólo una es adecuada para pescar salmón. Si utiliza la carnada correcta la probabilidad de que pesque un salmón es $1/3$, mientras que si usa una de las inadecuadas esa probabilidad se reduce a $1/5$.

Sean $A$ y $B$ dos sucesos de un espacio muestral, de los que se conocen las probabilidades $P(A) = 0{,}60$ y $P(B) = 0{,}25$. Determine las probabilidades que deben asignarse a los sucesos $A \cup B$ y $A \cap B$ en cada uno de los siguientes supuestos:

En una caja de ahorros se sabe que el porcentaje de los nuevos clientes que contratan un plan de pensiones no supera el $23\%$. El director de una de las sucursales decide hacer un regalo a cualquier nuevo cliente que contrate uno de esos planes y, tras un mes, comprueba que 110 de los 470 nuevos clientes han contratado un plan de pensiones.

El peso de las calabazas de una determinada plantación sigue una ley Normal con desviación típica $1200\,\text{g}$.