Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2026OrdinariaVariante Coincidencias

Matemáticas II · Madrid 2026

5 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos.
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3; en el apartado b de la 3, elige b1 o b2. Elige también una pregunta entre 4.1 y 4.2 y otra entre 5.1 y 5.2.
Puntuación
Cada pregunta vale 2 puntos.
Además
Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
La NFL es la principal liga profesional de fútbol americano de los Estados Unidos. En un partido de la NFL se pueden anotar puntos de diversas formas, siendo las más comunes las siguientes: touchdown, field goal y extra point al que solo se puede optar después de anotar un touchdown. Según la normativa de la liga, un touchdown vale 66 puntos, un field goal 33 puntos y un extra point 11 punto. De uno de los dos equipos de un partido finalizado de la NFL se sabe que solo ha conseguido puntos mediante touchdown, field goal y extra point. Además se sabe que: - Ha anotado 6363 puntos. - El doble de field goals anotados coincidió con el número de touchdowns conseguidos. - La suma del número de touchdowns y field goals anotados fue cuatro veces el número de extra points conseguidos. Halle el número de touchdowns, field goals y extra points anotados por el equipo.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2 puntos
Dada la función real de variable real f(x)=∣x2−6x+5∣f(x)=|x^2-6x+5|, se pide:
a
Hallar dónde se alcanzan los máximos y mínimos relativos de f(x)f(x), así como sus correspondientes valores.1 pt
b
Calcular el área del recinto delimitado por la gráfica de la función, el eje de abscisas y las rectas x=3x=3 y x=6x=6.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea rr la recta que pasa por A(1,2,−5)A(1, 2, -5) y B(2,4,−11)B(2, 4, -11), sea ss la recta dada por la intersección de los planos x−2y+3z=3x-2y+3z=3, x−y=0x-y=0, y sea tt la recta paralela a ss que pasa por C(1,0,0)C(1, 0, 0).
a
Determine la posición relativa de rr y ss.1 pt
b
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:1 pt
Elige una
Halle la distancia entre ss y tt.
Halle el coseno del ángulo que forman rr y ss.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos):

Se consideran los sucesos AA y BB de un experimento aleatorio que verifican P(A‾)=0,6P(\overline{A})=0{,}6, P(A∪B)=0,75P(A\cup B)=0{,}75 y P(B∣A)=0,375P(B\mid A)=0{,}375. Se pide:
a
Calcular P(B)P(B).1 pt
b
Calcular P(A‾∣B)P(\overline{A}\mid B).1 pt
Ver este ejercicio

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos):

En los barrios de Tokio se considera el reciclaje y la clasificación de la basura una obligación ciudadana. Si no se clasifican los residuos de forma correcta para que sean retirados por la empresa de recogida de basuras, estos no son recogidos y el barrio puede ser penalizado por el ayuntamiento. En el barrio de Ueno, el 82,5 %82{,}5\,\% de los hogares realizan esta tarea de forma adecuada.
a
Se analizan los residuos de diez hogares de este barrio. Calcule la probabilidad de que a lo sumo uno de ellos no clasifique correctamente sus residuos.1 pt
b
El ayuntamiento selecciona una muestra aleatoria de 200200 hogares en este barrio y si el porcentaje de familias que comete errores en la clasificación de sus residuos es superior o igual al 10 %10\,\%, el barrio es penalizado. Calcule, aproximando por una distribución normal adecuada, la probabilidad de que los vecinos de Ueno no sean sancionados.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos):

Sea la función f(x)=x2+bxf(x)=x^2+bx.
a
Determine los valores de bb para que la recta y=x−1y=x-1 sea tangente a la gráfica de la función f(x)f(x).1 pt
b
¿Es cierto que para cualquier valor de bb existe una recta tangente a la gráfica de la función f(x)f(x) que sea paralela a la recta y=x−1y=x-1? Justifique la respuesta.1 pt
Ver este ejercicio

Responda a una de las dos preguntas siguientes (calificación máxima: 2 puntos):

Calcule los siguientes límites:
a
lim⁡x→+∞(x2+3x−x)\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+3x}-x\right).1 pt
b
lim⁡x→0e3x−1ln⁡(1+2x)\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{\ln(1+2x)}.1 pt
Ver este ejercicio

Formulario

Mostrar
Distribución Normal Curva normal, con el área a la izquierda de z sombreada. Una línea vertical une el máximo con el eje horizontal; z está a su derecha. Distribución Normal z
Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)\mathrm{N}(0,1), P(Z<0,45)=0,6736P(Z<0{,}45)=0{,}6736.
zz0,000,01
0,00,50000,5040
0,10,53980,5438
0,20,57930,5832
0,30,61790,6217
0,40,65540,6591
0,50,69150,6950
0,60,72570,7291
0,70,75800,7611
0,80,78810,7910
0,90,81590,8186
1,00,84130,8438
1,10,86430,8665
1,20,88490,8869
1,30,90320,9049
1,40,91920,9207
1,50,93320,9345
1,60,94520,9463
1,70,95540,9564
1,80,96410,9649
1,90,97130,9719
2,00,97720,9778
2,10,98210,9826
2,20,98610,9864
2,30,98930,9896
2,40,99180,9920
2,50,99380,9940
2,60,99530,9955
2,70,99650,9966
2,80,99740,9975
2,90,99810,9982
3,00,99870,9987
zz0,020,03
0,00,50800,5120
0,10,54780,5517
0,20,58710,5910
0,30,62550,6293
0,40,66280,6664
0,50,69850,7019
0,60,73240,7357
0,70,76420,7673
0,80,79390,7967
0,90,82120,8238
1,00,84610,8485
1,10,86860,8708
1,20,88880,8907
1,30,90660,9082
1,40,92220,9236
1,50,93570,9370
1,60,94740,9484
1,70,95730,9582
1,80,96560,9664
1,90,97260,9732
2,00,97830,9788
2,10,98300,9834
2,20,98680,9871
2,30,98980,9901
2,40,99220,9925
2,50,99410,9943
2,60,99560,9957
2,70,99670,9968
2,80,99760,9977
2,90,99820,9983
3,00,99870,9988
zz0,040,05
0,00,51600,5199
0,10,55570,5596
0,20,59480,5987
0,30,63310,6368
0,40,67000,6736
0,50,70540,7088
0,60,73890,7422
0,70,77040,7734
0,80,79950,8023
0,90,82640,8289
1,00,85080,8531
1,10,87290,8749
1,20,89250,8944
1,30,90990,9115
1,40,92510,9265
1,50,93820,9394
1,60,94950,9505
1,70,95910,9599
1,80,96710,9678
1,90,97380,9744
2,00,97930,9798
2,10,98380,9842
2,20,98750,9878
2,30,99040,9906
2,40,99270,9929
2,50,99450,9946
2,60,99590,9960
2,70,99690,9970
2,80,99770,9978
2,90,99840,9984
3,00,99880,9989
zz0,060,07
0,00,52390,5279
0,10,56360,5675
0,20,60260,6064
0,30,64060,6443
0,40,67720,6808
0,50,71230,7157
0,60,74540,7486
0,70,77640,7794
0,80,80510,8078
0,90,83150,8340
1,00,85540,8577
1,10,87700,8790
1,20,89620,8980
1,30,91310,9147
1,40,92790,9292
1,50,94060,9418
1,60,95150,9525
1,70,96080,9616
1,80,96860,9693
1,90,97500,9756
2,00,98030,9808
2,10,98460,9850
2,20,98810,9884
2,30,99090,9911
2,40,99310,9932
2,50,99480,9949
2,60,99610,9962
2,70,99710,9972
2,80,99790,9979
2,90,99850,9985
3,00,99890,9989
zz0,080,09
0,00,53190,5359
0,10,57140,5753
0,20,61030,6141
0,30,64800,6517
0,40,68440,6879
0,50,71900,7224
0,60,75170,7549
0,70,78230,7852
0,80,81060,8133
0,90,83650,8389
1,00,85990,8621
1,10,88100,8830
1,20,89970,9015
1,30,91620,9177
1,40,93060,9319
1,50,94290,9441
1,60,95350,9545
1,70,96250,9633
1,80,96990,9706
1,90,97610,9767
2,00,98120,9817
2,10,98540,9857
2,20,98870,9890
2,30,99130,9916
2,40,99340,9936
2,50,99510,9952
2,60,99630,9964
2,70,99730,9974
2,80,99800,9981
2,90,99860,9986
3,00,99900,9990