Matemáticas CCSS · Murcia 2015

Hallar $x$, $y$, $z$ para que se verifique $$\begin{pmatrix} 1 & y \\ -1 & -\frac{y}{2} \\ 2 & \frac{y}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ -2 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ -8 \end{pmatrix}$$

Se quiere elaborar una dieta con dos preparados alimenticios, A y B. Una porción de A contiene $30\,\text{mg}$ de calcio, $10\,\text{mg}$ de fósforo y $40\,\text{mg}$ de magnesio, y cuesta $5$ euros. Una porción de B contiene $40\,\text{mg}$ de calcio, $30\,\text{mg}$ de fósforo y $20\,\text{mg}$ de magnesio, y cuesta $3$ euros. La dieta debe aportar, al menos, $350\,\text{mg}$ de calcio, $150\,\text{mg}$ de fósforo y $300\,\text{mg}$ de magnesio. Hallar cuántas porciones de cada preparado deben utilizarse para satisfacer estos requisitos con el mínimo coste.

Hallar las derivadas de las siguientes funciones:

En las cuatro primeras horas de un concierto, el número de miles de asistentes después de $t$ horas, una vez comenzado, varía según la función $$f(t) = 2t^3 - 27t^2 + 84t \qquad 0 \leq t \leq 4$$ Hallar el número máximo de asistentes al concierto en ese intervalo de tiempo.

Hallar el área del recinto acotado limitado por las curvas $f(x) = x^2 + 2x + 2$, $g(x) = -x^2 - 2x$ y las rectas $x = -2$ y $x = 0$. Hacer una representación gráfica aproximada de dicha área.

Hallar las siguientes integrales:

En un grupo de estudiantes, un $10\%$ sabe inglés y alemán, un $50\%$ sabe inglés pero no alemán y, entre los que saben alemán, un $40\%$ sabe inglés.

Dados dos sucesos $A$ y $B$ de un mismo experimento aleatorio, se sabe que $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}3$ y $P(A \cup B) = 0{,}6$. ¿Son $A$ y $B$ independientes?

De una muestra aleatoria de $600$ alumnos de una universidad, $121$ tienen beca. Calcular un intervalo de confianza al $90\%$ para la proporción de alumnos de la universidad que tienen beca.

Antes del lanzamiento de una campaña de publicidad, el ingreso diario por las ventas en unos grandes almacenes seguía una normal de media $7500$ euros y desviación típica de $1000$ euros. Pasados unos meses de la introducción de la campaña, para una muestra de $40$ días se obtuvo una media de ingreso diario de $8000$ euros. Si el ingreso diario sigue siendo normal con la misma desviación típica, plantear un contraste para contrastar la hipótesis de que con dicha medida la situación sigue igual, frente a que ha mejorado, como parecen indicar los datos. ¿A qué conclusión se llega para un nivel de significación del $5\%$?