Matemáticas II · País Vasco 2019

Discutir, en función de los valores de $A$, el siguiente sistema: $$\begin{cases} x + 2y + 3z = 6 \\ x + y - z = 1 \\ 2x - 2y + Az = A \end{cases}$$

Dada una matriz de tamaño $3 \times 3$ cuyo determinante es igual a $5$, se realizan sucesivamente las siguientes operaciones:

Hallar la ecuación de una recta paralela al plano $\pi \equiv x + 2y + 3z = 6$ y que contenga al punto $P(1, 0, 0)$. ¿Es única dicha recta? Razonar la respuesta.

Se considera la recta $r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ y el punto $P(1, 2, 5)$ exterior a la misma. Hallar la ecuación del plano que contiene a $r$ y a $P$.

Sea $f$ la función $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$.

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos de la función $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$. Representar $f$.

Sea $R$ el recinto del plano limitado por las curvas $y = x(3 - x)$ y por $y = x^2$. Dibujar $R$ y calcular su área.

Calcular $\int \frac{8x + 7}{(x + 1)(x + 3)} dx$ explicando el método seguido para dicho cálculo.

Una caja tiene 3 monedas $R$, $L$ y $M$. La moneda $R$ es normal, la $L$ tiene cara por los dos lados y la $M$ está trucada, de forma que la probabilidad de salir cara es $1/5$. Se tira una moneda elegida al azar.

Los resultados obtenidos en una prueba realizada a $500$ estudiantes se distribuyen normalmente con media $40$ puntos y desviación típica $10$ puntos.