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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2010Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2010

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Contesta a sólo una de las dos opciones propuestas (Opción A / Opción B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (A1.1 a A1.5).

Encuentra un número real aa que haga que el siguiente sistema con dos ecuaciones sea incompatible:{x+ay=1ax+y=1\begin{cases} x + ay = 1 \\ ax + y = 1 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (A1.1 a A1.5).

La distancia entre un móvil y su puesto de control viene dada por la función: D(t)=100t2+100t2+5D(t) = \frac{100t^2 + 100}{t^2 + 5}, donde la distancia D(t)D(t) se mide en kilómetros y la variable tt representa los segundos transcurridos desde la puesta en marcha.
i
¿A cuántos kilómetros se encuentra el móvil en el instante de ponerlo en marcha?0,2 pts
ii
¿A qué valor tiende la distancia cuando el tiempo tiende a infinito?0,8 pts
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (A1.1 a A1.5).

Para la realización de un trabajo, el profesor debe elegir a tres de los seis alumnos de su clase.
i
¿De cuántas formas distintas puede quedar formado el grupo que hará el trabajo?0,5 pts
ii
¿Qué probabilidad tienen Juan y Margarita de estar los dos juntos en dicho grupo?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (A1.1 a A1.5).

Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x)=8−2x−x2f(x) = 8 - 2x - x^2, en el intervalo [−2,2][-2, 2].
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (A1.1 a A1.5).

Dada la matriz A=(1−110)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, resuelve la ecuación matricial AX=3(A+I)AX = 3(A + I), donde II representa la matriz identidad de orden 2.
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Consideramos la función f(x)=x3−6x2+8xf(x) = x^3 - 6x^2 + 8x
i
Haz un esbozo de su gráfica. Para ello debes estudiar sus cortes con los ejes, sus límites (en +∞+\infty y en −∞-\infty) y su crecimiento y decrecimiento.2 pts
ii
Calcula el área encerrada por dicha curva y el eje OXOX, comprendida entre x=0x = 0 y x=2x = 2.1 pt
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
Existen tres variedades de linces. A la primera variedad pertenecen el 20%20\% de estos animales, a la segunda el 50%50\% y a la tercera el 30%30\%. Es muy poco frecuente encontrar linces de ojos azules. En concreto, este rasgo sólo se da en el 10%10\% de individuos de la primera variedad, en el 10%10\% de los de la segunda y en el 20%20\% de los de la tercera.
i
Calcula el porcentaje de linces que además de ser de la segunda variedad tienen ojos azules.1 pt
ii
Probabilidad de que un lince tenga ojos azules.1 pt
iii
Si un lince no tiene ojos azules, probabilidad de que pertenezca a la primera variedad.1 pt
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Ejercicio 8

8
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (B1.1 a B1.5).

Encuentra un número real aa que haga que el siguiente sistema sea incompatible:{x+ay=1ax+y=1\begin{cases} x + ay = 1 \\ ax + y = 1 \end{cases}
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Ejercicio 9

9
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (B1.1 a B1.5).

La distancia entre un móvil y su puesto de control viene dada por la función: D(t)=100t2+100t2+5D(t) = \frac{100t^2 + 100}{t^2 + 5}, donde la distancia D(t)D(t) se mide en kilómetros y la variable tt representa los segundos transcurridos desde la puesta en marcha.
i
¿A cuántos kilómetros se encuentra el móvil en el instante de ponerlo en marcha?0,2 pts
ii
¿A qué valor tiende la distancia cuando el tiempo tiende a infinito?0,8 pts
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Ejercicio 10

10
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (B1.1 a B1.5).

Para la realización de un trabajo, el profesor debe elegir a tres de los seis alumnos de su clase.
iii
¿De cuántas formas distintas puede quedar formado el grupo que hará el trabajo?0,5 pts
iv
¿Qué probabilidad tienen Juan y Margarita de estar los dos juntos en dicho grupo?0,5 pts
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Ejercicio 11

11
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (B1.1 a B1.5).

Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función f(x)=8−2x−x2f(x) = 8 - 2x - x^2, en el intervalo [−2,2][-2, 2].
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Ejercicio 12

12
1 punto
Parte B1

Responde a cuatro de las cinco cuestiones que se plantean a continuación (B1.1 a B1.5).

Dada la matriz A=(1−110)A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, resuelve la ecuación matricial AX=3(A+I)AX = 3(A + I), donde II representa la matriz identidad de orden 2.
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Ejercicio 13

13
3 puntos
Parte B2
Problema de recaudación de entradas de museo.
i
La entrada normal a un museo cuesta 11 euro, pero se hace un descuento del 30%30\% a los jóvenes y del 50%50\% a los jubilados. De una jornada se tienen los siguientes datos: se vendieron 200200 entradas, se obtuvo una recaudación de 154154 euros y sólo la mitad de las entradas vendidas tenían algún tipo de descuento. Plantea el correspondiente sistema de ecuaciones y calcula el número de visitantes que pagó cada una de las tres tarifas posibles.2,5 pts
ii
Si añadimos a todo lo anterior: “se sabe que fueron la cuarta parte de jóvenes que de jubilados”. ¿Hay solución?0,5 pts
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Ejercicio 14

14
3 puntos
Parte B2
La edad de los trabajadores de una región sigue una distribución normal de media 4040 años y desviación típica 77 años.
i
Tomamos una muestra de 3636 trabajadores. Calcula la probabilidad de que la edad media de la muestra esté entre 3838 y 4242 años.1 pt
ii
Calcula el intervalo característico correspondiente a una probabilidad del 90%90\% para las medias de muestras de tamaño 3636.1,5 pts
iii
Calcula el tamaño que deben tener las muestras para que el intervalo calculado en el apartado anterior tenga la mitad de longitud (manteniendo el 90%90\% de probabilidad).0,5 pts
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