Matemáticas II · País Vasco 2018

Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores de a: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & a & 4 & 0 \\ -1 & 3 & a & -2 \end{pmatrix}$$

Dado el siguiente sistema de ecuaciones $S(a)$: $$S(a) = \begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (a + 1)y - az = 2a \\ x + ay + (a + 1)z = 1 \end{cases}$$

Dados los puntos $A(3, 3, 3)$, $B(2, 3, 4)$, $C(0, 0, 4)$ y $D(3, 0, 1)$.

Hallar la ecuación del plano que contiene al punto $P(2, -1, 2)$ y a la recta $$r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{-1}$$

Sea $f$ la función definida por: $$f(x) = \begin{cases} 3 - ax^2, & x \leq 1 \\ \frac{2}{ax}, & x > 1 \end{cases}$$ Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de $a$.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4}$ se pide:

Calcular la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} dx$$

Representar el recinto del plano limitado por las curvas $y = e^x$, $y = e^{-x}$ y por la recta $x = 1$. Calcular su área.

De todos los números positivos $x$ e $y$ tales que $x + y = 10$ encontrar aquellos para los que el producto $P = x^2 y$ sea máximo.

Si llamamos $P$ a la suma de todos los números pares menores que $1001$ y $T$ a la suma de todos los múltiplos de $3$ menores que $1001$, ¿cuánto vale $P - T$?