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Matemáticas IIPaís VascoPAU 2018Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2018

5 ejercicios

Instrucciones

Este examen tiene dos opciones. Debes responder a una de ellas. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. El examen consta de cinco ejercicios. Cada ejercicio será valorado entre 0 y 2 puntos. Solamente se podrán usar calculadoras no programables. 1. El examen se valorará con una puntuación entre 0 y 10 puntos. 2. Todos los problemas tienen el mismo valor: hasta 2 puntos. 3. Se valorará el planteamiento correcto, tanto global como de cada una de las partes, si las hubiere. 4. No se tomarán en consideración errores numéricos, de cálculo, etc., siempre que no sean de tipo conceptual. 5. Las ideas, gráficos, presentaciones, esquemas, etc., que ayuden a visualizar mejor el problema y su solución se valorarán positivamente. 6. Se valorará la buena presentación del examen.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2 puntos
Calcula el rango de la siguiente matriz según los valores de a:A=(10420a40−13a−2) A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & a & 4 & 0 \\ -1 & 3 & a & -2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dados los puntos A(3,3,3)A(3, 3, 3), B(2,3,4)B(2, 3, 4), C(0,0,4)C(0, 0, 4) y D(3,0,1)D(3, 0, 1).
a
¿Están en el mismo plano? En caso afirmativo hallar la ecuación del plano. En caso negativo razonar la respuesta.1 pt
b
Calcular aa para que el punto P(a,a,8)P(a, a, 8) esté en la recta que pasa por los puntos AA y CC.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Sea ff la función definida por:f(x)={3−ax2,x≤12ax,x>1 f(x) = \begin{cases} 3 - ax^2, & x \leq 1 \\ \frac{2}{ax}, & x > 1 \end{cases} Estudiar su continuidad y su derivabilidad en función de aa.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Calcular la siguiente integral indefinida:∫2x−1x(x+1)2dx \int \frac{2x - 1}{x(x + 1)^2} dx
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Ejercicio 5

5
2 puntos
De todos los números positivos xx e yy tales que x+y=10x + y = 10 encontrar aquellos para los que el producto P=x2yP = x^2 y sea máximo.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dado el siguiente sistema de ecuaciones S(a)S(a):S(a)={x+2y−z=2x+(a+1)y−az=2ax+ay+(a+1)z=1 S(a) = \begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (a + 1)y - az = 2a \\ x + ay + (a + 1)z = 1 \end{cases}
a
Discutirlo según los distintos valores de aa.1,5 pts
b
¿Hay solución para a=2a = 2? En caso afirmativo calcular dicha solución. En caso negativo razonar la respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Hallar la ecuación del plano que contiene al punto P(2,−1,2)P(2, -1, 2) y a la rectar≡x2=y−31=z−1−1 r \equiv \frac{x}{2} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z - 1}{-1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dada la función f(x)=x2−3x2−4f(x) = \frac{x^2 - 3}{x^2 - 4} se pide:
a
Hallar las asíntotas de ff.0,5 pts
b
Hallar los intervalos donde es creciente y donde es decreciente.1 pt
c
¿Tiene extremos la función ff? En caso afirmativo ¿en qué puntos?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Representar el recinto del plano limitado por las curvas y=exy = e^x, y=e−xy = e^{-x} y por la recta x=1x = 1. Calcular su área.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Si llamamos PP a la suma de todos los números pares menores que 10011001 y TT a la suma de todos los múltiplos de 33 menores que 10011001, ¿cuánto vale P−TP - T?
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