Matemáticas II · Galicia 2019

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Suponiendo que A y X son matrices cuadradas y que A + I es invertible, despeja X en la ecuación A − X = AX. b) Si A = [[0, -1], [1, 3]], calcula X tal que A − X = AX.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema: {2x − y + 3z = 0; my + (3 − m)z = −6; 2x − y + mz = 6}. b) Resuélvelo, si es posible, en los casos m = 0 y m = 4.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Mediante integración por partes, demuestra que ∫ ln x dx = x(ln x − 1) + C. Luego, demuestra la misma igualdad mediante derivación. b) Si f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; ax + b si x ∈ (e, ∞)}, di qué relación tiene que existir entre los parámetros a y b para que f sea continua y cuáles tienen que ser sus valores para que f sea derivable. c) Calcula el área de la región encerrada por el eje X, la recta x = 4 y la gráfica de f(x) = {ln x si x ∈ (0, e]; x/e si x ∈ (e, ∞)}.

Considérese la función f(x) = x²e^(−x). Se pide: a) Calcular los límites lim(x→∞) f(x) y lim(x→−∞) f(x). b) Determinar intervalos de crecimiento y de decrecimiento, extremos relativos y puntos de inflexión. c) Calcular ∫ f(x) dx.

Se pide: a) Calcular el ángulo del intervalo [0°, 90°] que forman los vectores u = (−1/√2, 1/√2, 0) y v = (−1/2, (−1+√2)/2, 1/√2). b) Obtener la ecuación implícita del plano que pasa por el punto P(1, −3, 0) y es perpendicular a la recta {x − y + 2z = 1; y − z = 0}. c) Calcular la distancia del punto Q(1, 1, 1) al plano π: −x + y + z + 4 = 0 y el punto simétrico de Q respecto a π.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Estudia la posición relativa de los planos π₁: mx − y + 2 = 0 y π₂: 2x + 3y = 0 en función del parámetro m. b) Obtén la ecuación implícita del plano que pasa por los puntos A(0, 0, 0), B(1, 0, 1) y C(0, 1, 0). c) Calcula el punto simétrico del punto P(1, 2, 3) con respecto al plano π: −x + z = 0.

Da respuesta a los apartados siguientes: a) El 40% de los habitantes de una cierta comarca tienen camelias, el 35% tienen rosas y el 21% tienen camelias y rosas. Si se elige al azar a un habitante de esa comarca, calcular las cinco probabilidades siguientes: de que tenga camelias o rosas; de que no tenga ni camelias ni rosas; de que tenga camelias, sabiendo que tiene rosas; de que tenga rosas, sabiendo que tiene camelias; y de que solamente tenga rosas o solamente tenga camelias. b) Si en un auditorio hay 50 personas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 hayan nacido en el mes de enero?

Da respuesta a los apartados siguientes: a) Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcula P(A) si P(B) = 0.8, P(A ∩ B) = 0.2 y P(A ∪ B) es el triple de P(A). b) En un determinado lugar, la temperatura máxima durante el mes de julio sigue una distribución normal de media 25°C y desviación típica 4°C. Calcula la probabilidad de que la temperatura máxima de un cierto día esté comprendida entre 21°C y 27.2°C. ¿En cuántos días del mes se espera que la temperatura máxima permanezca dentro de ese rango?