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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSPaís VascoPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas CCSS · País Vasco 2026

4 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los cuatro problemas. En el 3 y en el 4, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Los problemas 1 y 4 valen 2 puntos cada uno; los problemas 2 y 3, 3 puntos cada uno. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Material
Calculadora sin pantalla gráfica, transmisión de datos, programación, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas o integrales, ni almacenamiento de datos alfanuméricos.
Además
Si respondes a las dos opciones de un problema, solo se corrige la primera. Debes mostrar todas las operaciones y cálculos y justificar las respuestas; una solución sin explicación recibe cero puntos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Un pastelero está experimentando con las recetas de dos tipos de dulces que quiere comercializar. Todavía no tiene pensado el nombre, así que de momento les llama dulce tipo A y dulce tipo B. Para la receta del dulce tipo A, además de otros ingredientes, sabe seguro que va a necesitar 70 g70\,\text{g} de harina y 20 g20\,\text{g} de azúcar, mientras que para la del tipo B usará 60 g60\,\text{g} de harina y 10 g10\,\text{g} de azúcar. Ahora mismo dispone de 4200 g4200\,\text{g} de harina y 800 g800\,\text{g} de azúcar, cantidades con las que quiere hacer al menos 1010 dulces del tipo B y un número de dulces del tipo A, como mínimo, igual a la mitad de los de tipo B. El precio que espera poner a cada dulce de tipo A es 55 euros, y 44 euros a cada dulce de tipo B. Con todo esto quiere saber cuántos dulces de cada tipo tiene que hacer para obtener un ingreso máximo.
a
Define las variables del problema y formula la función objetivo y las restricciones que permiten modelar la situación descrita como un problema de programación lineal.0,75 pts
b
Representa la región de soluciones factibles.0,75 pts
c
Determina el número de dulces de tipo A y de tipo B que debe hacer para maximizar el ingreso e indica el valor de dicho ingreso máximo.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
3 puntos
En una universidad el alumnado puede cursar una asignatura optativa o bien en modalidad presencial o bien en modalidad virtual. Se sabe que: - El 60 %60\,\% del alumnado elige la modalidad presencial. - Entre quienes eligen modalidad virtual, el 20 %20\,\% aprueba la asignatura. - Entre quienes eligen modalidad presencial, el 35 %35\,\% aprueba la asignatura. Se elige al azar un estudiante de la asignatura.
a
Calcula la probabilidad de que el estudiante seleccionado apruebe la asignatura.1 pt
b
Sabiendo que el estudiante ha aprobado, calcula la probabilidad de que haya cursado la asignatura en modalidad presencial.1 pt
c
¿Es más probable que un estudiante que ha aprobado haya cursado la asignatura en modalidad presencial o virtual? Justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 3

3
3 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Sea la función f(x)=x3−3x+1f(x) = x^3 - 3x + 1.
a
Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función y determina sus extremos relativos, si existen.1 pt
b
Estudia la concavidad de la función y determina si tiene puntos de inflexión.1 pt
c
Calcula la ecuación de la recta tangente a f(x)f(x) en el punto de abscisa x=1x = 1.1 pt
Ver este ejercicio

Responde solo a una de las opciones.

Una empresa produce un bien cuyo coste total, en miles de euros, viene dado por la funciónC(x)=x2+10x+600C(x) = x^2 + 10x + 600donde xx es el número de unidades producidas. El precio de venta por unidad depende de la cantidad producida y viene dado porp(x)=100−2x.p(x) = 100 - 2x.
a
Expresa la función de ingresos en función de xx.0,5 pts
b
Expresa la función de beneficios en función de xx.0,5 pts
c
Halla los valores de xx para los que el beneficio es positivo.0,5 pts
d
Determina el número de unidades que debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo y calcula dicho beneficio.0,5 pts
e
Calcula ∫1020(C(x)+1p(x)) dx\displaystyle\int_{10}^{20}\left(C(x) + \frac{1}{p(x)}\right)\,dx.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Se considera la matriz dependiente del parámetro real aa:A=(a121).A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}.
a
Calcula la matriz traspuesta de AA y el determinante de AA en función de aa.0,5 pts
b
Determina los valores de aa para los que existe la matriz inversa de AA y calcula dicha matriz cuando exista.0,5 pts
c
Resuelve la ecuación matricial AX+B=IAX + B = I, dondeB=(1012),B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix},indicando para qué valores de aa tiene solución.0,5 pts
d
Para a=3a = 3 calcula la matriz C=A−1BtAC = A^{-1}B^tA, donde BtB^t denota la traspuesta de BB.0,5 pts
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Responde solo a una de las opciones.

Sea el sistema lineal dependiente del parámetro real bb{x+y+z=62x+by+z=b+3x+y+bz=4.\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + by + z = b + 3 \\ x + y + bz = 4 \end{cases}.
a
Escribe el sistema en forma matricial y calcula el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro bb.0,5 pts
b
Di para qué valores de bb la matriz de coeficientes es invertible.0,25 pts
c
Estudia el sistema según los valores de bb, indicando cuándo tiene solución única, infinitas soluciones o no tiene solución.0,75 pts
d
Resuelve el sistema para b=0b = 0.0,5 pts
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Formulario

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Áreas limitadas por la curva N(0,1)N(0, 1) desde −∞-\infty hasta zz
Áreas limitadas por la curva normal Curva N(0,1) con el área sombreada desde menos infinito hasta z, situado a la derecha del centro. z
0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,70,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000