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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSMadridPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas CCSS · Madrid 2026

4 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las cuatro preguntas: los dos apartados de la 1 y una de las dos opciones de cada una de las preguntas 2, 3 y 4.
Puntuación
Cada pregunta vale 2,5 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Además
Todas las respuestas deben ser razonadamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Responda los dos apartados. Esta pregunta no tiene opcionalidad. Se está realizando un estudio sobre las ventas de mochilas de una marca deportiva en los pequeños establecimientos de una gran ciudad. Esta marca tiene dos tipos de mochilas, unas realizadas con material impermeable, que están indicadas preferentemente para deportes acuáticos, y otras fabricadas en lona no impermeable.
a
Se supone que el precio de las mochilas sigue una distribución normal con desviación típica de 2525 euros. Si se ha seleccionado una muestra de 5050 comercios y se ha obtenido que el precio medio de venta de estas mochilas es de 43,5543{,}55 euros, obtenga un intervalo de confianza al 97,8 %97{,}8\,\% para la media de la distribución.1,3 pts
b
Si se desea saber cuál es la proporción de clientes que prefieren las mochilas realizadas con material impermeable, ¿cuál es el número de comercios necesario para que dicha proporción tenga un error de muestreo inferior al 5 %5\,\%? Utilice un nivel de confianza del 95 %95\,\%. Considere el caso más conservador en el que p=q=0,5p = q = 0{,}5.1,2 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2.1 o 2.2

2.1o2.2
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Dadas las matricesA=(131201)A = \begin{pmatrix}1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}B=(101101)B = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}C=(500−1)C = \begin{pmatrix}5 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
a
Calcule, si existe, la matriz D=(AB+I)−1D = (AB + I)^{-1}, donde M−1M^{-1} significa la matriz inversa de MM e II es la matriz identidad.1 pt
b
Obtenga, si existe, el valor de kk para que se verifique AAt−kBtB=CAA^t - kB^tB = C, donde MtM^t representa la matriz transpuesta de la matriz MM.1,5 pts
Ver este ejercicio

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 2.1 o bien 2.2.

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones dependiente del parámetro real aa.{3x+ay=12x−y+az=1x−3y+2z=1\begin{cases}3x + ay = 1 \\ 2x - y + az = 1 \\ x - 3y + 2z = 1\end{cases}
a
Discuta la solución del sistema para los diferentes valores de aa.1,5 pts
b
Resuelva el sistema para el valor a=3a = 3.1 pt
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Ejercicio 3.1 o 3.2

3.1o3.2
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Se está realizando un estudio sobre la utilización de IA por parte de los estudiantes universitarios en la elaboración de trabajos académicos. En dicho estudio participan un 30 %30\,\% de estudiantes de Humanidades, un 45 %45\,\% de estudiantes de Ciencias y un 25 %25\,\% de estudiantes de Derecho. Además, por estudios anteriores, se estima que, en Humanidades el 15 %15\,\% de los estudiantes utilizan la IA, en Ciencias el 5 %5\,\% y en Derecho el 25 %25\,\%.
a
Obtenga la probabilidad de que, elegido un trabajo al azar, haya sido realizado con la IA.0,9 pts
b
Si se selecciona un trabajo que no ha sido realizado con la IA, obtenga la probabilidad de que pertenezca a un estudiante de Derecho.0,8 pts
c
En la Facultad de Derecho, el detector de IA utilizado para este estudio tiene un 90 %90\,\% de probabilidad de detectar los trabajos que realmente fueron realizados con IA, mientras que en un 8 %8\,\% de las ocasiones clasifica los trabajos como realizados con la IA cuando realmente no se han realizado con dicha herramienta. Si al pasar un trabajo de un estudiante de Derecho por el detector este señala que se ha realizado con la IA, ¿cuál es la probabilidad de que efectivamente se haya realizado con la IA?0,8 pts
Ver este ejercicio

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 3.1 o bien 3.2.

Se consideran dos sucesos AA y BB tales queP(A∩B)=0,1P(A \cap B) = 0{,}1P(A‾∩B‾)=0,7P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 0{,}7P(A∣B)=0,4P(A\mid B) = 0{,}4Nota: S‾\overline{S} es el suceso complementario del suceso SS. Resuelva las siguientes preguntas:
a
P(B)P(B)0,5 pts
b
P(A∪B)P(A \cup B)0,5 pts
c
P(A)P(A)0,5 pts
d
P(A‾∣B‾)P\left(\overline{A}\mid\overline{B}\right)0,5 pts
e
¿Son independientes los sucesos AA y BB? Justifique la respuesta0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2,5 puntos

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

Considere la función real de variable real:f(x)={e−3x+2x<0x2−4x+2x+1x≥0f(x) = \begin{cases}e^{-3x+2} & x < 0 \\ \dfrac{x^2 - 4x + 2}{x + 1} & x \geq 0\end{cases}
a
Determine razonadamente el dominio de la función.0,5 pts
b
Estudie la continuidad de la función en x=0x = 0.1 pt
c
Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. ¿Existe algún extremo de esta función?1 pt
Ver este ejercicio

Responda únicamente a una de las dos opciones, o bien 4.1 o bien 4.2.

Considere la función real de variable real:f(x)=x3+3x2+ax+bf(x) = x^3 + 3x^2 + ax + b
a
Obtenga los valores de aa y bb para que la recta tangente a la función en el punto (1,2)(1, 2) sea horizontal.1 pt
b
Si a=−10a = -10 y b=0b = 0, calcule el área delimitada por la función, el eje horizontal y las rectas x=1x = 1 y x=3x = 3.1,5 pts
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Formulario

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ÁREAS BAJO LA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Los valores en la tabla representan el área bajo la curva normal hasta un valor positivo de zz.
Curva normal estándar con el área sombreada hasta un valor positivo de z.
zz,00{,}00,01{,}01,02{,}02,03{,}03,04{,}04,05{,}05,06{,}06,07{,}07,08{,}08,09{,}09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77030,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99540,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990