Matemáticas II · La Rioja 2011

Contesta razonadamente si, para la función $f(x) = \ln(x^2 + 3x)$ existe algún punto en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ es perpendicular a la recta $2x - y + 2 = 0$.

Contesta razonadamente si, para la función $f(x) = \ln(x^2 + 3x)$ existe algún punto en el que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ es perpendicular a la recta $2x - y + 2 = 0$.

Encuentra un vector de módulo $1$ que sea ortogonal a los vectores de coordenadas $(1, 0, 1)$ y $(1, 2, 0)$.

Encuentra un vector de módulo $1$ que sea ortogonal a los vectores de coordenadas $(1, 0, 1)$ y $(1, 2, 0)$.

Halla una función $f(x)$ que pase por el punto $(0, 1)$ y tal que $f'(x) = (x^2 - 4)e^x$.

Halla una función $f(x)$ que pase por el punto $(0, 1)$ y tal que $f'(x) = (x^2 - 4)e^x$.

Calcula el dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento, máximos y mínimos y los puntos de inflexión de la función $f(x) = x - \ln(x^2 - 1)$. Representa la gráfica de $f(x)$ a partir de los datos obtenidos.

Con una cuerda de $2$ metros queremos construir un cuadrado de lado $l$ y un círculo de radio $r$ de modo que la suma de sus áreas sea mínima. ¿Cuánto deben medir $l$ y $r$?

Calcula la ecuación de una recta $r$ paralela al plano que pasa por los puntos $A(1, 1, 0)$, $B(0, 1, 1)$ y $C(1, 0, 1)$ y al plano de ecuación $x + 2y + 3z = 1$ y que no esté contenida en ninguno de ellos.

La recta $r$ de ecuación $\frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3}$ y la recta $s$ que pasa por los puntos $P(1, 0, 2)$ y $Q(a, 1, 0)$ se cortan en un punto. Calcula el valor de $a$ y el punto de corte.