Matemáticas II · Castilla y León 2024

**Problema 1 (Álgebra):** a) Discutir según los valores del parámetro $\lambda$ el siguiente sistema: $$\begin{cases} \lambda x + y - z = 1 \\ -x + y - 2z = 0 \\ 2y + \lambda z = 1 \end{cases}$$ **(1,2 puntos)** b) Resolverlo para $\lambda = 1$. **(0,8 puntos)**

**Problema 10 (Probabilidad y estadística):** Suponiendo que el tiempo que dura una partida de torneo entre maestros de ajedrez sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos, calcular: a) La probabilidad de que una determinada partida de ajedrez jugada en un torneo de maestros acabe en menos de dos horas. **(1 punto)** b) El porcentaje de partidas de torneo entre maestros de ajedrez que duran más de tres horas y 50 minutos. **(1 punto)**

**Problema 2 (Álgebra):** Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$; $D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$, hallar la matriz $X$ tal que $AB + CX = D$. **(2 puntos)**

**Problema 3 (Geometría):** Dados la recta $r \equiv x = y = z$, el plano $\pi \equiv x + 2y - 3z = 0$ y el punto $P = (1,1,1)$, se pide: a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. **(1 punto)** b) Hallar la recta perpendicular a $r$ contenida en $\pi$ que pasa por $P$. **(1 punto)**

**Problema 4 (Geometría):** Determinar el plano que pasa por los puntos $P = (1,1,2)$ y $Q = (3,-1,1)$ y es paralelo a la recta $r \equiv x - 1 = y = z$. **(2 puntos)**

**Problema 5 (Análisis):** Dada la función $f(x) = e^x + x^3 - 2$, demostrar que $f(x)$ se anula para algún valor de $x$ y que ese valor es único. **(2 puntos)**

**Problema 6 (Análisis):** Dada la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos(x)-a}{bx^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}$, ¿qué valores tienen que tomar los parámetros $a \in \mathbb{R}$ y $b \in \mathbb{R} - \{0\}$ para que esta función sea continua en todo $\mathbb{R}$? **(2 puntos)**

**Problema 7 (Análisis):** Calcular los valores de $a$, $b$ y $c$ para los cuales la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene extremos relativos en $x = 0$ y $x = 2$ y además la gráfica de $f(x)$ corta al eje de abscisas para $x = 1$. **(2 puntos)**

**Problema 8 (Análisis):** a) Dada la función $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2-3x+2}$, hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. **(1 punto)** b) Calcular $\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2-3x+2}\,dx$. **(1 punto)**

**Problema 9 (Probabilidad y estadística):** Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un 50% son convencionales (es decir, con motor de gasolina o de gasoil), un 30% híbridos y un 20% eléctricos. De ellos, un 70% de los convencionales, un 80% de los híbridos y un 85% de los eléctricos tienen potencia $<140$ CV y el resto la tienen $\geq 140$ CV. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia $\geq 140$ CV. Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia $\geq 140$ CV. **(1 punto)** b) Si se sabe que el coche elegido tiene al menos 140 CV, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional? **(1 punto)**