Matemáticas II · País Vasco 2019

Discutir, en función de $m$, el sistema de ecuaciones $$S = \begin{cases} (m + 3) x + m y + m z = m - 1 \\ 3 x + m z = m - 2 \\ - y + z = m - 3 \end{cases}$$ Resolver en los casos de indeterminación, suponiendo que existan.

Dada la matriz $A(a)$ $$A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & a & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},$$ calcular, razonadamente, el valor de $a$ para que el determinante de $A(a)^2$ valga 4.

Sean la recta $$r \equiv \begin{cases} 4 x - 3 y + 4 z = 1 \\ 3 x - 2 y + z = 0 \end{cases} \quad \text{y el plano } x - y + A z = 0.$$

Se consideran los tres puntos $A(0, 0, 1)$, $B(1, 1, 1)$ y $C(-1, -1, 2)$. ¿Están alineados? En caso afirmativo hallar la ecuación de la recta que los contiene. En caso negativo calcular el plano que los contiene.

Dada la función $f(x) = x^2 + 64$ y el punto exterior a su gráfica $P(6, 0)$, encontrar la recta o rectas tangentes a $f$ que pasen por $P$.

Sea $f$ la función $f(x) = x^2 e^{-4x}$. Calcular la primera y la segunda derivada de $f$. Hallar los máximos y mínimos de $f$.

Calcula $\int x e^{-4x} dx$, explicando el proceso utilizado para dicho cálculo.

Representar el recinto finito del plano limitado por la recta $y = x + 2$ y por la parábola $y = x^2$. Calcular su área.

Sobre una mesa tengo tres cajas con botones; la primera caja tiene 3 botones, la segunda 5 y la tercera 4. Cada una de las cajas contiene un solo botón rojo. Si elijo al azar una caja y saco de ella un botón al azar:

Lanzamos un dado de seis caras 6000 veces. Calcular la probabilidad de que el número de veces que salga el 5