Matemáticas CCSS · Murcia 2018

Dadas las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 2x \\ 0 \\ z \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ y \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$. Hallar $x$, $y$, $z$ para que se cumpla $A^t(B + C) = D$.

Un agricultor puede utilizar, como máximo, 120 hectáreas de terreno para dos tipos de cultivo, A y B. Quiere dedicar, al menos, 25 hectáreas al cultivo A, y el terreno dedicado al cultivo B debe ser como mínimo el doble que el dedicado al cultivo A. Cada hectárea de cultivo A le produce 300 € de beneficio, mientras que cada hectárea de cultivo B le produce 215 €. Hallar las hectáreas que debe dedicar a cada uno de los cultivos para conseguir el máximo beneficio. ¿A cuánto ascenderá dicho beneficio?

Dada la función $f(x) = x^3 \ln(2x + 5) + ax + b$ con $a$ y $b$ números reales. Hallar $a$ y $b$ para que se cumpla $f(0) = 2$ y $f'(0) = 1$.

Dada la función $f(x) = 5x^3 e^{2x} + \frac{1}{x^2 + 1}$

Calcular las siguientes integrales:

Hallar el valor del parámetro $a$ para que se cumpla $\int_{0}^{1} (ax^3 - 9x^2 + 10) dx = 2a$.

Sabiendo que $P(A \cup B) = 0{,}95$, $P(A \cap B) = 0{,}35$ y $P(A|B) = 0{,}5$. Hallar $P(A)$, $P(B)$ y $P(\bar{A} \cap \bar{B})$.

En un grupo hay 12 mujeres y 8 hombres. Se eligen al azar, sucesivamente y sin reemplazamiento, tres personas.

En una muestra aleatoria de 100 individuos se ha obtenido para el peso una media de 60 kg. Se sabe que el peso en la población de la que procede la muestra sigue una distribución normal con una desviación típica de 20 kg.

En una muestra aleatoria de tamaño 150 de individuos de una población se ha obtenido que 32 utilizan el tranvía. Hallar un intervalo de confianza al 99% para la proporción de individuos de la población que utilizan el tranvía.