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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2020Modelo 1

Matemáticas II · Andalucía 2020

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios de los ocho ejercicios propuestos. Si se realizan más de cuatro ejercicios, solo se evaluarán los primeros cuatro ejercicios que aparezcan físicamente en el papel de examen. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Calcula aa sabiendo que lim⁡x→0(1ln⁡(1−x)−ax−1x)=72\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{ax - 1}{x} \right) = \frac{7}{2} (ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff la función definida por f(x)=−x3+2x−3x2−xf(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x} para x≠0,x≠1x \neq 0, x \neq 1. Halla la primitiva de ff cuya gráfica pasa por el punto (2,3ln⁡2)(2, 3\ln 2), donde ln denota la función logaritmo neperiano.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera A=(1111abc14)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & b \\ c & 1 & 4 \end{pmatrix}, B=(111)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} y C=(321)C = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}. Determina a,ba, b y cc, sabiendo que AB=CAB = C y la matriz AA tiene rango 2.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Considera el tetraedro de vértices A(0,0,0)A(0, 0, 0), B(1,1,0)B(1, 1, 0), C(0,1,3)C(0, 1, 3) y D(1,0,3)D(1, 0, 3).
a
Calcula el volumen de dicho tetraedro.1 pt
b
Calcula la medida de la altura trazada desde el vértice AA de dicho tetraedro.1,5 pts
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Calcula ∫ln⁡(x2+2x+2) dx\int \ln(x^2 + 2x + 2) \, dx donde ln denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable t=x+1t = x + 1).
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Siendo λ\lambda un número real, considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas{x+λy=22x+4y=1λx+y=2λ\begin{cases} x + \lambda y = 2 \\ 2x + 4y = 1 \\ \lambda x + y = 2\lambda \end{cases}Discútelo según los valores de λ\lambda y resuélvelo cuando sea posible.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Considera los puntos A(−1,3,2)A(-1, 3, 2), B(2,−1,−1)B(2, -1, -1) y C(a−2,7,b)C(a - 2, 7, b).
a
Determina aa y bb para que los puntos AA, BB y CC estén alineados.1,25 pts
b
En el caso a=b=1a = b = 1, halla la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos AA, BB y CC.1,25 pts
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