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la cuevadel empollón
Matemáticas IIMadridPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Madrid 2026

5 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3; en el apartado 3.b, elige b1 o b2. Elige una pregunta entre 4.1 y 4.2 y otra entre 5.1 y 5.2.
Puntuación
Cada pregunta vale 2 puntos. La puntuación de cada apartado figura en el enunciado.
Además
Todas las respuestas deben estar debidamente justificadas.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz realA=(1λ−2λ01λ−1101),A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda-2 & \lambda \\ 0 & 1 & \lambda-1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},se pide:
a
Discutir el rango de AA en función del parámetro λ\lambda.1 pt
b
Para el caso λ=2\lambda = 2, resolver la ecuación matricial A2−AX=IA^2 - AX = I, donde II es la matriz identidad de orden 33.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Se quiere enlosar un jardín con forma de triángulo rectángulo de catetos 42 m42\,\text{m} y 56 m56\,\text{m}. Dentro del jardín se va a diferenciar un espacio rectangular techado de forma que dos de sus lados sean paralelos a los catetos del triángulo, un vértice coincida con el vértice del ángulo recto del triángulo y el vértice opuesto esté sobre su hipotenusa. Alicatar la parte cubierta cuesta 30 €/m230\,\text{€}/\text{m}^2 y la parte no techada, 50 €/m250\,\text{€}/\text{m}^2 pues las baldosas llevan un tratamiento especial resistente al agua. Calcule las dimensiones de la parte techada que hacen que el coste de instalar el suelo en el jardín sea mínimo.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dados el plano π:2x+2y−z=13\pi: 2x + 2y - z = 13 y la rectar≡x−21=y1=z4.r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{4}.
a
Halle el punto simétrico del punto P(2,0,0)P(2, 0, 0) respecto al plano π\pi.1 pt
b
Responda solo a uno de los dos apartados siguientes:1 pt
Elige una
Halle la distancia entre el plano π\pi y la recta rr.
Halle una ecuación del plano que contiene a la recta rr y es ortogonal al plano π\pi.
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Ejercicio 4.1 o 4.2

4.1o4.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

El proveedor de una fábrica de móviles proporciona baterías cuya duración sigue una distribución normal con media μ=24\mu = 24 horas y desviación típica σ=3\sigma = 3 horas. A efectos de control de calidad, se considera que una batería es defectuosa si su duración es inferior a 2121 horas.
a
Se elige un teléfono al azar de la línea de producción. Calcule la probabilidad de que su batería sea considerada defectuosa.1 pt
b
Un distribuidor recibe un lote de 1010 teléfonos. Suponiendo independencia entre ellos, ¿cuál es la probabilidad de que en ese lote haya al menos 99 teléfonos con la batería no defectuosa?1 pt
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sabiendo que P(B)=0,4P(B) = 0{,}4, P(A∪B‾)=0,4P(\overline{A \cup B}) = 0{,}4 y P(B∣A)=0,2P(B|A) = 0{,}2, calcule las siguientes probabilidades:
a
P(A‾)P(\overline{A}) y P(A∩B)P(A \cap B).1 pt
b
P((A∩B)∣(A∪B))P((A \cap B)|(A \cup B)).1 pt
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Ejercicio 5.1 o 5.2

5.1o5.2
2 puntos

Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sea f(x)=ln⁡(x)f(x) = \ln(x). Halle el área de la región acotada por la gráfica de f(x)f(x), el eje de abscisas y la recta x=ex = e.
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Responda a una de las dos preguntas siguientes:

Sea la funciónf(x)={3x2−sen⁡(ax)+bsi x<02ex1+x2si x≥0.f(x) = \begin{cases} 3x^2 - \operatorname{sen}(ax) + b & \text{si } x < 0 \\ \dfrac{2e^x}{1+x^2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}.
a
Calcule los valores de aa y bb para que la función sea continua y derivable en x=0x = 0.1 pt
b
Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x=2x = 2.1 pt
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Formulario

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Distribución Normal
Distribución normal Curva normal simétrica, con una línea vertical en el máximo. El área bajo la curva hasta el punto z, a la derecha del centro, está sombreada. z
Ejemplo: si ZZ tiene distribución N(0,1)\mathrm{N}(0, 1), P(Z<0,45)=0,6736P(Z < 0{,}45) = 0{,}6736.
zz0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990