Matemáticas II · País Vasco 2024

1º) Discute la existencia de solución del sistema $\begin{cases} ax + 4y + z = 3 \\ ax - 5y + 2z = -2, \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$ en función de los valores del parámetro $a$. Resuelve el sistema, si es posible: $a)$ Cuando $a = 0$. $b)$ Cuando $a = 1$.

2º) Calcula el rango de la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 1 \\ m & 2-m & 2 & 1 \\ m & -2 & m-2 & 1 \end{pmatrix}$ dependiendo del parámetro $m$.

3º) Se consideran las siguientes rectas: $r \equiv \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y+1}{2} = \dfrac{z}{-1}$, $s \equiv \begin{cases} x = \lambda \\ y = -2 + 3\lambda. \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$ $a)$ Determina su posición relativa. $b)$ Si dichas rectas se cortan, calcula el ángulo mínimo formado entre ambas. En caso de que no se corten, calcula la distancia entre ambas rectas.

4º) Se consideran la recta $r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - y + 4z = 1 \end{cases}$ y el plano $\pi \equiv 2x - 3y + Az = 10$. $a)$ Calcula el valor del parámetro $A$ para que la recta $r$ y el plano $\pi$ sean paralelos. $b)$ Si $A = 21$, calcula la intersección del plano $\pi$ y la recta $r$. $c)$ Si $A = 1$, calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano $\pi$.

5º) Sea $f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C$. Las rectas tangentes a la gráfica de la función $f$ en los puntos de abscisas $x = -1$ y $x = 2$ son paralelas. Además, $f$ tiene un extremo relativo cuando $x = 1$ y $f(0) = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{x}$. $a)$ Encuentra los valores de los parámetros $A$, $B$ y $C$. $b)$ Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$ para los valores de los parámetros $A = -3$, $B = 0$ y $C = 4$.

6º) Sea $f(x) = 2x \cdot e^{-2x^2}$. $a)$ Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$. $b)$ Encuentra los extremos relativos de $f$ y razona si son máximos o mínimos. $c)$ Calcula las asíntotas de $f$.

7º) Calcula la integral $I = \int x \cdot \ln^2 x \cdot dx$, y explica el método empleado.

8º) Se consideran las curvas de ecuaciones $y = \dfrac{x^2}{3}$, $y = x^2 + 2x$ e $y = 3$. $a)$ Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por dichas curvas. $b)$ Calcula el área de ese recinto.

9º) Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,54. Se aplica la vacuna a un grupo de 3.289 adultos. $a)$ Identifica la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y determina sus parámetros. $b)$ Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1.800 adultos. $c)$ Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1.700 adultos.

10º) Sean $A$ y $B$ sucesos aleatorios independientes, siendo sus probabilidades $P(A) = 0{,}7$ y $P(B) = 0{,}1$, y sean $\bar{A}$ y $\bar{B}$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente. Calcula las siguientes probabilidades razonadamente, e indica claramente el proceso o ley aplicada: $a)$ $P(A \cup B)$. $b)$ $P(\bar{A} \cup \bar{B})$. $c)$ $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. $d)$ $P(A \cap \bar{B})$. $e)$ $P(\bar{A}/B)$.