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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2011Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2011

4 ejercicios

Instrucciones

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Ejercicio 1

1
3 puntos
Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que es compatible:{2y+a2z=a+4ax−y+(a+2)z=1ax−2y+az=0\begin{cases} 2y + a^2z = a + 4 \\ ax - y + (a + 2)z = 1 \\ ax - 2y + az = 0 \end{cases}
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que está contenida en el plano π≡x+2y−z+2=0\pi \equiv x + 2y - z + 2 = 0 y corta perpendicularmente a la rectar≡{2x+y−z+1=0x+2y−2z−1=0r \equiv \begin{cases} 2x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - 2z - 1 = 0 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Halla las integrales indefinidas
a
∫tg⁡3x+tg⁡xtg⁡2x−1dx\int \frac{\tg^3 x + \tg x}{\tg^2 x - 1} dx1 pt
b
∫dxx2+x−2\int \frac{dx}{x^2 + x - 2}1 pt
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Dada la funciónf(x)=2+sen⁡(x+13)+sen⁡(π−1+2x3)f(x) = \sqrt{2 + \sen(\sqrt[3]{x + 1}) + \sen(\pi - \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x}})}demuestra que existe un valor α∈(1,2)\alpha \in (1, 2) tal que f′(α)=0f'(\alpha) = 0. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 1

1
2 puntos
Dada la matriz A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} encuentra todas las matrices GG que cumplen AG=GAAG = GA.
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente ar≡{3x−y−z+2=05x−2y−z−1=0y as≡x−12=y+11=z−1r \equiv \begin{cases} 3x - y - z + 2 = 0 \\ 5x - 2y - z - 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y a} \quad s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Encuentra los extremos absolutos de la función f(x)=cos⁡x+sen⁡xf(x) = \cos x + \sen x en el intervalo [π2,3π2]\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.
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Ejercicio 4

4
3 puntos
Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones f(x)=1−x2f(x) = \sqrt{1 - x^2} y g(x)=1−x22g(x) = \frac{1 - x^2}{2}. (Observa que f(x)f(x) es la parte no negativa de la circunferencia de centro el origen y radio 1.)
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