Matemáticas II · Navarra 2011

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$ y resuélvelo en los casos en que es compatible: $$\begin{cases} 2y + a^2z = a + 4 \\ ax - y + (a + 2)z = 1 \\ ax - 2y + az = 0 \end{cases}$$

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ encuentra todas las matrices $G$ que cumplen $AG = GA$.

Encuentra la ecuación continua de la recta que está contenida en el plano $\pi \equiv x + 2y - z + 2 = 0$ y corta perpendicularmente a la recta $$r \equiv \begin{cases} 2x + y - z + 1 = 0 \\ x + 2y - 2z - 1 = 0 \end{cases}$$

Encuentra la ecuación continua de la recta que corta perpendicularmente a $$r \equiv \begin{cases} 3x - y - z + 2 = 0 \\ 5x - 2y - z - 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y a} \quad s \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z}{-1}$$

Halla las integrales indefinidas

Encuentra los extremos absolutos de la función $f(x) = \cos x + \sen x$ en el intervalo $\left[ \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2} \right]$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Dada la función $$f(x) = \sqrt{2 + \sen(\sqrt[3]{x + 1}) + \sen(\pi - \sqrt[3]{1 + \frac{2}{x}})}$$ demuestra que existe un valor $\alpha \in (1, 2)$ tal que $f'(\alpha) = 0$. Menciona los resultados teóricos empleados y justifica su uso.

Calcula el área de la región del plano encerrada entre las gráficas de las funciones $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ y $g(x) = \frac{1 - x^2}{2}$. (Observa que $f(x)$ es la parte no negativa de la circunferencia de centro el origen y radio 1.)