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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021OrdinariaTitular

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Se sabe que la gráfica de la función ff definida por f(x)=ax2+bx+2x−1f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1} (para x≠1x \neq 1) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto (1,1)(1, 1) y tiene pendiente 22. Calcula aa y bb.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función continua f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida porf(x)={(3x−6)exsi x≤036(sen⁡(x)−ax)x3si x>0f(x) = \begin{cases} (3x - 6)e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{36(\operatorname{sen}(x) - ax)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases}
a
Calcula aa.1,5 pts
b
Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=−1x = -1.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=4x3−x4f(x) = 4x^3 - x^4.
a
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
b
Esboza la gráfica de ff y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas.1,5 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función F:[0,+∞)→RF: [0, +\infty) \to \mathbb{R} definida porF(x)=∫0x(2t+t)dtF(x) = \int_{0}^{x} (2t + \sqrt{t}) dtHalla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de FF en el punto de abscisa x=1x = 1.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{mx+2y−z=15x−4y+2z=0x+3my=m+25\begin{cases} mx + 2y - z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ x + 3my = m + \frac{2}{5} \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para m=0m = 0. ¿Hay alguna solución en la que x=0x = 0? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.1 pt
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg10\,\text{kg} de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos50\,\text{gramos}, para cada garrafa 100 gramos100\,\text{gramos} y 1 kg1\,\text{kg} para cada bidón. El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 5252 productos cada hora. ¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las rectasr≡{2x−3y+z−2=0−3x+2y+2z+1=0ys≡{x=3−2λy=−1+λz=−2+2λr \equiv \begin{cases} 2x - 3y + z - 2 = 0 \\ -3x + 2y + 2z + 1 = 0 \end{cases} \quad \text{y} \quad s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}
a
Calcula el plano perpendicular a la recta ss que pasa por el punto P(1,0,−5)P(1, 0, -5).1,5 pts
b
Calcula el seno del ángulo que forma la recta rr con el plano π≡−2x+y+2z=0\pi \equiv -2x + y + 2z = 0.1 pt
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
La recta r≡x+32=y+42=z−33r \equiv \frac{x + 3}{2} = \frac{y + 4}{2} = \frac{z - 3}{3} y la recta ss, que pasa por los puntos P(1,0,2)P(1, 0, 2) y Q(a,1,0)Q(a, 1, 0), se cortan en un punto. Calcula el valor de aa y el punto de corte.
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