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la cuevadel empollón
Matemáticas CCSSLa RiojaPAU 2011Extraordinaria

Matemáticas CCSS · La Rioja 2011

7 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla normal estándar como anexo. Contesta a sólo una de las dos opciones propuestas (Opción A / Opción B).
Elige una opción

Ejercicio 1

1
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

El 80%80\% de los alumnos de mi colegio estudian inglés y el 30%30\% francés. Además, sólo el 15%15\% combinan ambos idiomas. Calcula:
i
Porcentaje de alumnos que no estudian ninguno de esos dos idiomas.0,5 pts
ii
Porcentaje de alumnos que estudian sólo uno de esos dos idiomas.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Sea la función f(x)=1x2+3f(x) = \frac{1}{x^2} + 3.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Clasifica el siguiente sistema y calcula sus soluciones:{x−y−z=1x−y=0\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Dada la función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}:
a
Deriva la función.0,5 pts
b
Prueba que f(x)f(x) tiene un máximo relativo en x=1x=1.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte A1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte A1.

Dada la matriz A=(2201)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}:
i
Calcula la matriz A−1A^{-1}.0,5 pts
ii
Calcula una matriz XX que cumpla AX=A+IAX = A + I, siendo II la matriz identidad de orden 2.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte A2
Sea la función f(x)=8x+2xf(x) = \frac{8}{x} + 2x:
i
Estudia su dominio, asíntotas verticales y sus límites en −∞-\infty y +∞+\infty.1 pt
ii
Calcula crecimiento, decrecimiento, máximos relativos y mínimos relativos.1,5 pts
iii
Con lo anterior, dibuja aproximadamente la función.0,5 pts
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte A2
El tiempo de espera en la cola de un supermercado sigue una distribución normal con media 180180 segundos y desviación típica de 5050 segundos.
i
Tomamos una muestra de 6464 clientes. Calcula la probabilidad de que la espera media de la muestra supere los 190190 segundos.1 pt
ii
Calcula el intervalo característico (intervalo de probabilidad), correspondiente a una probabilidad del 95%95\%, para la espera media de muestras de tamaño 6464.1 pt
iii
Calcula el tamaño (mínimo) que deben tener las muestras para que el intervalo característico, correspondiente a una probabilidad del 90%90\%, de la espera media de muestras de dicho tamaño, tenga longitud 2222 segundos ("semiamplitud" 1111).1 pt
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Ejercicio 1

1
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

El 80%80\% de los alumnos de mi colegio estudian inglés y el 30%30\% francés. Además, sólo el 15%15\% combinan ambos idiomas. Calcula:
i
Porcentaje de alumnos que no estudia ninguno de esos dos idiomas.0,5 pts
ii
Porcentaje de alumnos que estudia sólo uno de esos dos idiomas.0,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Sea la función f(x)=1x2+3f(x) = \frac{1}{x^2} + 3.
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Ejercicio 3

3
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Clasifica el siguiente sistema y calcula sus soluciones:{x−y−z=1x−y=0\begin{cases} x - y - z = 1 \\ x - y = 0 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Dada la función f(x)=xx2+1f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}:
a
Deriva la función.0,5 pts
b
Prueba que f(x)f(x) tiene un máximo relativo en x=1x=1.0,5 pts
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Ejercicio 5

5
1 punto
Parte B1

Responda a cuatro de las cinco cuestiones de la Parte B1.

Dada la matriz A=(2201)A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}:
i
Calcula la matriz A−1A^{-1}.0,5 pts
ii
Calcula una matriz XX que cumpla AX=A+IAX = A + I, siendo II la matriz identidad de orden 2.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
3 puntos
Parte B2
Se desea construir una vidriera a base de cristales de colores. Para nuestra composición usaremos 150150 cristales verdes, 450450 rojos y 300300 blancos. Sabemos que, por cierto defecto de fabricación, al ser colocados se rompen un 3%3\% de los verdes, un 1%1\% de los rojos y un 3%3\% de los blancos.
a
Calcula la probabilidad de que uno de los cristales no se rompa al ser colocado.1,5 pts
b
Si un cristal se ha roto al colocarlo, calcula la probabilidad de que sea rojo.1,5 pts
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Ejercicio 7

7
3 puntos
Parte B2
Sea el sistema {x−3y+z=0x+(k−3)y+z=k2x−6y+(k−1)z=3\begin{cases} x - 3y + z = 0 \\ x + (k - 3)y + z = k \\ 2x - 6y + (k - 1)z = 3 \end{cases}, dependiente del parámetro kk.
i
Clasifica dicho sistema según los posibles valores del parámetro real kk.1,5 pts
ii
Resuelve en los casos en que resulte compatible.1,5 pts
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