Matemáticas II · País Vasco 2016

Discute el siguiente sistema según los valores del parámetro $b$ (NO es necesario resolverlo en ningún caso). $$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - bz = 2b \\ x + by + (1 + b)z = 1 \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} a & -1 & -1 \\ 1 & a & 1 \\ a - 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$

Determinar el plano que pasa por el origen de coordenadas, es paralelo a la recta de ecuación $$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{1}$$ y también es paralelo a la recta que pasa por los puntos $(0,1,1)$ y $(1,1,0)$.

Dado el plano $x - 3y + 2z = 7$:

Estudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función $$y = \frac{x^3}{x^2 - 4}$$ y calcula cuáles son sus máximos y sus mínimos.

Dada la función $f(x) = Ax^3 + Bx^2 + C$

Dibujar el recinto encerrado entre las gráficas de las funciones $$f(x) = x^2 - 4x + 3 \quad \text{y} \quad g(x) = -x + 3,$$ y calcular el área de dicho recinto.

Resolver la siguiente integral $$\int \frac{2x^2 + 5x - 1}{x(x^2 + x - 2)} \, dx.$$

La siguiente serie está compuesta por los siguientes múltiplos consecutivos de 5: $$45, 50, 55, \dots, 650, 655$$

En un teatro hay tres tipos de localidades, que llamaremos A, B y C. Las del tipo A cuestan 24 euros, las del tipo B cuestan 20 euros y las del tipo C cuestan 15 euros. El teatro tiene una capacidad de 400 butacas de las cuales se han vendido el 80%. En total se han recaudado 5.940 euros. Sabiendo que se han vendido el doble de localidades del tipo B que del tipo A. ¿Cuántas localidades de cada tipo se han vendido?