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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2025

7 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1A · Opción A

1AOpción A
2,5 puntos
Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con m∈Rm \in \mathbb{R}:{mx+7y+5z=0x+my+z=3y+z=−2\begin{cases} mx + 7y + 5z = 0 \\ x + my + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}a) Discutir el sistema en función del parámetro mm. (1,5 puntos) b) Resolver para el caso m=1m = 1. (1 punto)
a
Discutir el sistema en función del parámetro mm.1,5 pts
b
Resolver para el caso m=1m = 1.1 pt
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Ejercicio 1B · Opción B

1BOpción B
2,5 puntos
Sean las matrices A=(023235131)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} y B=(−1010−1121−3)B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}. a) Obtener la inversa de la matriz AT+IA^T + I donde II es la matriz identidad de orden 3. (1,25 puntos) b) Resolver la ecuación matricial ATX−I=2B−XA^T X - I = 2B - X. (ATA^T es la matriz traspuesta de AA) (1,25 puntos)
a
Obtener la inversa de la matriz AT+IA^T + I donde II es la matriz identidad de orden 3.1,25 pts
b
Resolver la ecuación matricial ATX−I=2B−XA^T X - I = 2B - X. (ATA^T es la matriz traspuesta de AA)1,25 pts
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Ejercicio 2A · Opción A

2AOpción A
2,5 puntos
a) Dada la función f(x)=ax2+bx3f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}, calcula los valores de aa y bb sabiendo que f(x)f(x) tiene un máximo relativo en el punto P(1,2)P(1,2). (1,25 puntos) b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular a=2a = 2, b=−2b = -2. (1,25 puntos)
a
Dada la función f(x)=ax2+bx3f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}, calcula los valores de aa y bb sabiendo que f(x)f(x) tiene un máximo relativo en el punto P(1,2)P(1,2).1,25 pts
b
Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular a=2a = 2, b=−2b = -2.1,25 pts
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Ejercicio 2B · Opción B

2BOpción B
2,5 puntos
Dadas las funciones f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 y g(x)=x+3g(x) = x + 3. a) Calcula la primitiva de g(x)f(x)\dfrac{g(x)}{f(x)} que pase por el punto (5,0)(5, 0). (1,25 puntos) b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x). (1,25 puntos)
a
Calcula la primitiva de g(x)f(x)\dfrac{g(x)}{f(x)} que pase por el punto (5,0)(5, 0).1,25 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de f(x)f(x) y g(x)g(x).1,25 pts
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Ejercicio 3A · Opción A

3AOpción A
2,5 puntos
Dados los puntos A=(1,2,3)A = (1,2,3), B=(2,3,4)B = (2,3,4), C=(3,4,3)C = (3,4,3). a) ¿Están A, B y C alineados? (0,75 puntos) b) Halla un vector que sea ortogonal a AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC}, y de módulo 2\sqrt{2}. (1 punto) c) Halla el punto simétrico del punto A respecto del punto B. (0,75 puntos)
a
¿Están A, B y C alineados?0,75 pts
b
Halla un vector que sea ortogonal a AB→\overrightarrow{AB} y AC→\overrightarrow{AC}, y de módulo 2\sqrt{2}.1 pt
c
Halla el punto simétrico del punto A respecto del punto B.0,75 pts
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Ejercicio 3B · Opción B

3BOpción B
2,5 puntos
Dada la recta s≡x−4=y−13=z+10s \equiv \dfrac{x}{-4} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z+1}{0}, el plano π≡x−2y+3z−6=0\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0 y el punto P(1,−1,0)P(1,-1,0). a) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta ss que pase por PP. (0,75 puntos) b) Calcular la distancia del punto PP a la recta ss. (1 punto) c) Calcular el ángulo que forma la recta ss con el plano π\pi. (0,75 puntos)
a
Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta ss que pase por PP.0,75 pts
b
Calcular la distancia del punto PP a la recta ss.1 pt
c
Calcular el ángulo que forma la recta ss con el plano π\pi.0,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Se sabe que el 30% de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión "La Revuelta". La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población: a) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. (0,75 puntos) b) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. (0,75 puntos) c) Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa "El Hormiguero" y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? (1 punto)
a
Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas.0,75 pts
b
Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas.0,75 pts
c
Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa "El Hormiguero" y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas?1 pt
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