Matemáticas II · Extremadura 2025

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones, con $m \in \mathbb{R}$: $$\begin{cases} mx + 7y + 5z = 0 \\ x + my + z = 3 \\ y + z = -2 \end{cases}$$ a) Discutir el sistema en función del parámetro $m$. (1,5 puntos) b) Resolver para el caso $m = 1$. (1 punto)

Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \end{pmatrix}$. a) Obtener la inversa de la matriz $A^T + I$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. (1,25 puntos) b) Resolver la ecuación matricial $A^T X - I = 2B - X$. ($A^T$ es la matriz traspuesta de $A$) (1,25 puntos)

a) Dada la función $f(x) = \dfrac{ax^2 + b}{x^3}$, calcula los valores de $a$ y $b$ sabiendo que $f(x)$ tiene un máximo relativo en el punto $P(1,2)$. (1,25 puntos) b) Estudia los extremos relativos, el crecimiento y decrecimiento y las asíntotas de la función anterior para el caso particular $a = 2$, $b = -2$. (1,25 puntos)

Dadas las funciones $f(x) = x^2 - 4x + 3$ y $g(x) = x + 3$. a) Calcula la primitiva de $\dfrac{g(x)}{f(x)}$ que pase por el punto $(5, 0)$. (1,25 puntos) b) Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$. (1,25 puntos)

Dados los puntos $A = (1,2,3)$, $B = (2,3,4)$, $C = (3,4,3)$. a) ¿Están A, B y C alineados? (0,75 puntos) b) Halla un vector que sea ortogonal a $\overrightarrow{AB}$ y $\overrightarrow{AC}$, y de módulo $\sqrt{2}$. (1 punto) c) Halla el punto simétrico del punto A respecto del punto B. (0,75 puntos)

Dada la recta $s \equiv \dfrac{x}{-4} = \dfrac{y-1}{3} = \dfrac{z+1}{0}$, el plano $\pi \equiv x - 2y + 3z - 6 = 0$ y el punto $P(1,-1,0)$. a) Obtener la ecuación del plano perpendicular a la recta $s$ que pase por $P$. (0,75 puntos) b) Calcular la distancia del punto $P$ a la recta $s$. (1 punto) c) Calcular el ángulo que forma la recta $s$ con el plano $\pi$. (0,75 puntos)

Se sabe que el 30% de una población de la Comarca Villuercas-Ibores-Jara ve el programa de televisión "La Revuelta". La productora El Terrat, empresa encargada de llevar a cabo dicho programa, decide llamar por teléfono, al azar, a 10 personas de esa población: a) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa más de 8 personas. (0,75 puntos) b) Calcula la probabilidad de que estuvieran viendo el programa alguna de las 10 personas. (0,75 puntos) c) Se sabe que, en la misma población, el 35% ve el programa "El Hormiguero" y se sabe también que el 40% no ve ninguno de los dos. Si se elige una persona al azar ¿Cuál es la probabilidad de que vea los dos programas? (1 punto)