Matemáticas II · Galicia 2023

Números y Álgebra: Despeje la matriz X de la ecuación XA = A + XB, si A y B son matrices cuadradas tales que A − B es invertible. Luego, calcule X si A = [[1, 2], [0, 0]] y B = (A² − A − I)^(−1), donde I es la matriz identidad de orden 2.

Números y Álgebra: Discuta, según los valores de m, el sistema {mx + (2 + m²)y = 1 + m; my − z = 1; mx + 2y + (2m − 4)z = 5}.

Análisis: a) Si f(x) = ae^x + b, diga qué valores deben tener a y b para que se cumplan f(0) = 0 y lim(x→0) f(x)/x = 3. b) Estudie si la función f(x) = x + sin x tiene extremos o puntos de inflexión en el intervalo (0, 2π), diga dónde están en caso de que existan y esboce la gráfica de f en ese intervalo.

Análisis: Calcule el área de la región determinada por las desigualdades x ≥ 1, y ≤ x y y ≥ f(x), con f(x) = x ln x. Haga un esbozo gráfico de la región. Nota: ln x es el logaritmo neperiano de x.

Geometría: a) Obtenga las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por los puntos P(2, −1, 0) y Q(3, 0, 0) y la ecuación implícita o general del plano π que pasa por el punto R(0, 4, −2) y es paralelo a los vectores u = (1, 0, −1) y v = (2, 1, −2). b) Calcule el ángulo agudo que forma la recta r: (x − 2)/1 = (y + 1)/1 = z/0 con el plano π: x + z + 2 = 0.

Geometría: a) Calcule el punto simétrico de P(2, −1, 0) con respecto al plano π: x + z + 2 = 0. b) Estudie la posición relativa de las rectas r: (x − 2)/1 = (y + 1)/1 = z/0 y s: (x − 2)/2 = (y + 2)/1 = (z + 1)/(−1). Si se cortan, calcule el punto de corte.

Estadística y Probabilidad: a) Calcule las cuatro probabilidades P(A), P(A ∩ B̄), P(A|B) y P(B|A) sabiendo que P(A ∪ B) = 0.8, P(A ∩ B) = 0.2 y P(A) = 2P(B). Nota: B̄ es el suceso contrario o complementario de B. b) En un conocido congreso, el 60% de los científicos inscritos participan online y el resto asisten en persona. Además, el 65% de los inscritos son europeos y el 80% de los que asisten en persona también lo son. Si se elige al azar a uno de los inscritos, calcule la probabilidad de que sea europeo y, a la vez, participe online; luego, la de que participe online si se sabe que es europeo.

Estadística y Probabilidad: a) En una cierta zona húmeda, la probabilidad de que un renacuajo llegue a ser rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ser ranas adultas? b) Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?