Matemáticas II · Baleares 2016

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

Calcule la matriz $X$ tal que: $$A \cdot X \cdot A = B$$ donde $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$

Dados los puntos $A(0, 0, 0)$ y $B(1, 1, 2)$, determine los puntos $C$ y $D$ tales que el cuadrilátero $ABCD$ sea un rectángulo en el plano $x + y - z = 0$ y la coordenada $x$ del punto $C$ valga $1$. Vea la figura adjunta.

Calcule el punto simétrico del punto $A(1, 1, 1)$ respecto del plano $\pi : x + y + 3z = 6$.

Consideramos la función $f(x) = e^{x - 3} - x - 2$, para $x \ge 0$.

Determine el triángulo isósceles de perímetro $9\,\text{cm}$ que tiene área máxima.

Haga un dibujo aproximado de las curvas $y = \sen x$ y $y = \cos x$, donde $x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$, indicando los puntos donde se cortan. Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores y las rectas verticales $x = \pm \frac{\pi}{4}$.

Calcule la siguiente integral indefinida: $$\int \frac{2x^2 + x - 2}{x^3 - 2x^2 - x + 2} dx$$