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la cuevadel empollón
Matemáticas IIBalearesPAU 2016Extraordinaria

Matemáticas II · Baleares 2016

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
Conteste de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Se dispone de 90 minutos. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4. Se valorarán la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático y no matemático) empleado por el alumno. Se valorarán negativamente los errores de cálculo. Puede utilizar calculadora de cualquier tipo, científica, gráfica o programable, pero no se autorizará el uso de las que lleven información almacenada o puedan transmitirla.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
10 puntos
Considere el siguiente sistema de ecuaciones:
a
Discuta para qué valores de aa el sistema siguiente tiene solución:{x+(a−1)y+3z=13x+2y+z=−1−ax−y+z=1\begin{cases} x + (a - 1)y + 3z = 1 \\ 3x + 2y + z = -1 \\ -ax - y + z = 1 \end{cases}7 pts
b
Resuélvalo en el caso (o casos) en que sea compatible indeterminado.3 pts
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Dados los puntos A(0,0,0)A(0, 0, 0) y B(1,1,2)B(1, 1, 2), determine los puntos CC y DD tales que el cuadrilátero ABCDABCD sea un rectángulo en el plano x+y−z=0x + y - z = 0 y la coordenada xx del punto CC valga 11. Vea la figura adjunta.
Representación de un rectángulo con vértices A, B, C y D.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Consideramos la función f(x)=ex−3−x−2f(x) = e^{x - 3} - x - 2, para x≥0x \ge 0.
a
Calcule sus extremos relativos.3 pts
b
Dé los intervalos de crecimiento y decrecimiento.4 pts
c
Deduzca que si x≥4x \ge 4, f(x)≥−4f(x) \ge -4.3 pts
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Haga un dibujo aproximado de las curvas y=sen⁡xy = \sen x y y=cos⁡xy = \cos x, donde x∈[−π4,π4]x \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}], indicando los puntos donde se cortan. Calcule el área del recinto limitado por las dos curvas anteriores y las rectas verticales x=±π4x = \pm \frac{\pi}{4}.
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Ejercicio 1

1
10 puntos
Calcule la matriz XX tal que:A⋅X⋅A=BA \cdot X \cdot A = BdondeA=(201211100),B=(033220302)A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}
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Ejercicio 2

2
10 puntos
Calcule el punto simétrico del punto A(1,1,1)A(1, 1, 1) respecto del plano π:x+y+3z=6\pi : x + y + 3z = 6.
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Ejercicio 3

3
10 puntos
Determine el triángulo isósceles de perímetro 9 cm9\,\text{cm} que tiene área máxima.
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Ejercicio 4

4
10 puntos
Calcule la siguiente integral indefinida:∫2x2+x−2x3−2x2−x+2dx\int \frac{2x^2 + x - 2}{x^3 - 2x^2 - x + 2} dx
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