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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2022

10 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro α\alpha: {x+y+αz=α,2x+αy+αz=1,x+αy+z=1.\left\{ \begin{array}{l} x + y + \alpha z = \alpha , \\ 2 x + \alpha y + \alpha z = 1, \\ x + \alpha y + z = 1. \end{array} \right. Resuelve el sistema para α=−1\alpha = -1 y α=1\alpha = 1, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
PRIMERA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sea la matriz A=(mm21m−20022).A = \begin{pmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
a)1,25 pts
Determina para qué valores del parámetro mm la matriz AA no tiene inversa.
b)1,25 pts
Calcula, si es posible, la matriz inversa de AA para m=0m = 0.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Se consideran la recta rr cuyas ecuaciones paramétricas son: r≡{x=t,y=2t,z=0;r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2 t, \\ z = 0; \end{cases} y el plano π≡x+y+z−2=0\pi \equiv x + y + z - 2 = 0. Calcula las coordenadas de un punto PP perteneciente a la recta rr tal que la distancia de PP al plano π\pi sea igual que la distancia de PP al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
SEGUNDA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sean el punto P=(1,2,a)P = (1, 2, a), donde a≠0a \neq 0, y el plano π≡x+y+2z=3\pi \equiv x + y + 2 z = 3. Halla las coordenadas del punto simétrico de PP respecto al plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Dada la función f(x)=(x−1)2e−2xf(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
TERCERA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sea f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C. Encuentra los valores de los parámetros AA, BB y CC para que ff se anule en el punto de abscisa x=1x = 1 y las rectas tangentes a la gráfica de ff en los puntos de abscisa x=−1x = -1 y x=3x = 3 sean paralelas a la recta y=2x+1y = 2x + 1.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Calcula ∫7x+13(x+1)(x2−x−2) dx\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)} \, dx.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
CUARTA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x)=exf(x) = e^x, g(x)=e−xg(x) = e^{-x} y la recta horizontal y=ey = e, y calcula el área de ese recinto.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras: T: 4 bolas negras y 6 blancas, R: 7 bolas negras y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:
a)1 pts
sean negras,
b)1 pts
sean blancas,
c)0,5 pts
sean de distinto color.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
QUINTA PARTE

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,56{,}5.
a)1,25 pts
Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.
b)1,25 pts
Si el 30 %30\,\% de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?
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