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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2022Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2022

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responder a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibildad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Discute la existencia de soluciones del sistema de ecuaciones lineales que sigue en función de los valores del parámetro α\alpha:{x+y+αz=α,2x+αy+αz=1,x+αy+z=1.\left\{ \begin{array}{l} x + y + \alpha z = \alpha , \\ 2 x + \alpha y + \alpha z = 1, \\ x + \alpha y + z = 1. \end{array} \right.Resuelve el sistema para α=−1\alpha = -1 y α=1\alpha = 1, si es posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sea la matrizA=(mm21m−20022).A = \begin{pmatrix} m & m & 2 \\ 1 & m - 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}.
a
Determina para qué valores del parámetro mm la matriz AA no tiene inversa.1,25 pts
b
Calcula, si es posible, la matriz inversa de AA para m=0m = 0.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Se consideran la recta rr cuyas ecuaciones paramétricas son:r≡{x=t,y=2t,z=0;r \equiv \begin{cases} x = t, \\ y = 2 t, \\ z = 0; \end{cases}y el plano π≡x+y+z−2=0\pi \equiv x + y + z - 2 = 0. Calcula las coordenadas de un punto PP perteneciente a la recta rr tal que la distancia de PP al plano π\pi sea igual que la distancia de PP al origen de coordenadas. ¿Es único dicho punto? Contesta razonadamente.
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sean el punto P=(1,2,a)P = (1, 2, a), donde a≠0a \neq 0, y el plano π≡x+y+2z=3\pi \equiv x + y + 2 z = 3. Halla las coordenadas del punto simétrico de PP respecto al plano π\pi.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Dada la función f(x)=(x−1)2e−2xf(x) = (x - 1)^2 e^{-2x}, estudia sus intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcula sus máximos y mínimos.
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Sea f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C. Encuentra los valores de los parámetros AA, BB y CC para que ff se anule en el punto de abscisa x=1x = 1 y las rectas tangentes a la gráfica de ff en los puntos de abscisa x=−1x = -1 y x=3x = 3 sean paralelas a la recta y=2x+1y = 2x + 1.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Calcula ∫7x+13(x+1)(x2−x−2) dx\int \frac{7x + 13}{(x + 1)(x^2 - x - 2)} \, dx.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Dibuja el recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x)=exf(x) = e^x, g(x)=e−xg(x) = e^{-x} y la recta horizontal y=ey = e, y calcula el área de ese recinto.
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

Tenemos dos urnas con el siguiente número de bolas blancas y negras: T: 4 bolas negras y 6 blancas, R: 7 bolas negras y 3 blancas. Se selecciona al azar una urna, se extrae una bola y se coloca en la otra urna. A continuación, se extrae una bola de esta última urna. Calcula la probabilidad de que las dos bolas extraídas:
a
sean negras,1 pt
b
sean blancas,1 pt
c
sean de distinto color.0,5 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responde solo a uno de los dos ejercicios.

El peso (en gramos) de una pieza fabricada en serie sigue una distribución normal de media 52 y desviación típica 6,56{,}5.
Datos
  • Media μ=52\mu = 52
  • Desviación típica σ=6,5\sigma = 6{,}5
a
Calcula la probabilidad de que el peso de una pieza fabricada esté comprendida entre 50 y 68 gramos.1,25 pts
b
Si el 30 %30\,\% de las piezas fabricadas pesa más que una pieza dada, ¿cuánto pesa esta última?1,25 pts
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