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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Navarra 2026

5 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde P1, P2 y P3. Elige una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.
Puntuación
El examen no indica las puntuaciones.

Ejercicio P1

P1
En Navarra, aproximadamente un 1,4 %1{,}4\,\% de la población es intolerante al gluten. Un test de intolerancia al gluten tiene una sensibilidad del 97 %97\,\% (es decir, si se aplicase a 100 personas intolerantes al gluten, se espera que 97 darían positivo y 3 negativo). El mismo test tiene una especificidad del 96 %96\,\% (aplicando el test a 100 personas sin intolerancia, 96 darían negativo y 4 positivo). Elegimos una persona al azar:
i
¿Cuál es la probabilidad de que el test le dé positivo?
ii
¿Cuál es la probabilidad de que le dé negativo?
iii
¿Cuál es la probabilidad de que, si le da positivo el test, sea intolerante al gluten?
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Ejercicio P2

P2
Sea y=f(x)y = f(x) la función positiva que cumple la ecuación (x−1)2+y2=1(x - 1)^2 + y^2 = 1.
i
Expresa yy en función de xx y demuestra que existe un punto cc en su dominio tal que f′(c)=−1f'(c) = -1. Enuncia el resultado teórico utilizado, y justifica su uso.
ii
¿Cuánto vale el área comprendida entre la curva y=f(x)y = f(x) y el eje OXOX?
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Ejercicio P3

P3
Encuentra la ecuación continua de la recta tt que pasa por el punto A(2,4,−2)A(2, 4, -2) y corta a las rectass≡x−2−1=y+12=z1s \equiv \frac{x - 2}{-1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{1}yr={x=−1+λy=−2z=1+3λλ∈R.r = \begin{cases} x = -1 + \lambda \\ y = -2 \\ z = 1 + 3\lambda \end{cases}\qquad \lambda \in \mathbb{R}.
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Ejercicio P4.1 o P4.2

P4.1oP4.2

Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Estudia el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real aa y resuélvelo en los casos en que sea compatible indeterminado:{(a2−4)x+(a+2)y+2z=4(4−a2)x+z=2(a2−4)x+(a+2)y+az=−4\begin{cases} (a^2 - 4)x + (a + 2)y + 2z = 4 \\ (4 - a^2)x + z = 2 \\ (a^2 - 4)x + (a + 2)y + az = -4 \end{cases}Menciona el resultado teórico empleado y justifica su uso.
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Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Dadas las siguientes matrices AA y BB, calcula ∣A⋅B−1∣|A \cdot B^{-1}| en función del parámetro tt. ¿Para qué valores de tt no existe ∣A⋅B−1∣|A \cdot B^{-1}|?A=(t+1t22t+1t2+t−22−tt+1t24)A = \begin{pmatrix} t + 1 & t^2 & 2 \\ t + 1 & t^2 + t - 2 & 2 - t \\ t + 1 & t^2 & 4 \end{pmatrix};B=(t3tt2−10t2−tt4tt2)B = \begin{pmatrix} t & 3t & t^2 - 1 \\ 0 & t & 2 - t \\ t & 4t & t^2 \end{pmatrix}
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Ejercicio P5.1 o P5.2

P5.1oP5.2

Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Calcula la siguiente integral indefinida y el límite:∫e2⋅etan⁡(x)4⋅cos⁡2(x) dx\int \frac{e^2 \cdot e^{\tan(x)}}{4 \cdot \cos^2(x)}\,dx;lim⁡x→−∞2x−24x−22x+1−1\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2}{4^{\frac{x - 2}{2x + 1}} - 1}
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Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Estudia las asíntotas y simetrías de la función f(x)=3x2+2x−2f(x) = \dfrac{3x^2 + 2}{x - 2}.
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Formulario

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AYUDA Volumen de una esfera: 43πR3\frac{4}{3}\pi R^3 Área de una esfera: 4πR24\pi R^2 Ecuación de circunferencia de radio RR centrada en (a,b)(a, b): (x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 Z∼N(0,1)Z \sim N(0, 1)
kk0123456789
−3,50,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,0002
−3,40,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,0002
−3,30,00050,00050,00050,00040,00040,00040,00040,00040,00040,0003
−3,20,00070,00070,00060,00060,00060,00060,00060,00050,00050,0005
−3,10,00100,00090,00090,00090,00080,00080,00080,00080,00070,0007
−3,00,00130,00130,00130,00120,00120,00110,00110,00110,00100,0010
−2,90,00190,00180,00180,00170,00160,00160,00150,00150,00140,0014
−2,80,00260,00250,00240,00230,00230,00220,00210,00210,00200,0019
−2,70,00350,00340,00330,00320,00310,00300,00290,00280,00270,0026
−2,60,00470,00450,00440,00430,00410,00400,00390,00380,00370,0036
−2,50,00620,00600,00590,00570,00550,00540,00520,00510,00490,0048
−2,40,00820,00800,00780,00750,00730,00710,00690,00680,00660,0064
−2,30,01070,01040,01020,00990,00960,00940,00910,00890,00870,0084
−2,20,01390,01360,01320,01290,01250,01220,01190,01160,01130,0110
−2,10,01790,01740,01700,01660,01620,01580,01540,01500,01460,0143
−2,00,02280,02220,02170,02120,02070,02020,01970,01920,01880,0183
−1,90,02870,02810,02740,02680,02620,02560,02500,02440,02390,0233
−1,80,03590,03510,03440,03360,03290,03220,03140,03070,03010,0294
−1,70,04460,04360,04270,04180,04090,04010,03920,03840,03750,0367
−1,60,05480,05370,05260,05160,05050,04950,04850,04750,04650,0455
−1,50,06680,06550,06430,06300,06180,06060,05940,05820,05710,0559
−1,40,08080,07930,07780,07640,07490,07350,07210,07080,06940,0681
−1,30,09680,09510,09340,09180,09010,08850,08690,08530,08380,0823
−1,20,11510,11310,11120,10930,10750,10560,10380,10200,10030,0985
−1,10,13570,13350,13140,12920,12710,12510,12300,12100,11900,1170
−1,00,15870,15620,15390,15150,14920,14690,14460,14230,14010,1379
−0,90,18410,18140,17880,17620,17360,17110,16850,16600,16350,1611
−0,80,21190,20900,20610,20330,20050,19770,19490,19220,18940,1867
−0,70,24200,23890,23580,23270,22960,22660,22360,22060,21770,2148
−0,60,27430,27090,26760,26430,26110,25780,25460,25140,24830,2451
−0,50,30850,30500,30150,29810,29460,29120,28770,28430,28100,2776
−0,40,34460,34090,33720,33360,33000,32640,32280,31920,31560,3121
−0,30,38210,37830,37450,37070,36690,36320,35940,35570,35200,3483
−0,20,42070,41680,41290,40900,40520,40130,39740,39360,38970,3859
−0,10,46020,45620,45220,44830,44430,44040,43640,43250,42860,4247
−0,00,50000,49600,49200,48800,48400,48010,47610,47210,46810,4641
kk0123456789
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
P(Z<k)=12π∫−∞ke−t2/2 dtP(Z < k) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\displaystyle\int_{-\infty}^{k} e^{-t^2/2}\,dt
Distribución normal tipificada Densidad normal, función de distribución y área bajo la densidad a la izquierda de k, con k negativo. Recta horizontal de altura 1 y marca 0,5. 1 0,5 k 1 0,5 k