Matemáticas II · La Rioja 2023

Sea $$f(x) = \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x}.$$

Dibuja el recinto limitado por las parábolas $y = x^2 - 8x$ e $y = 10 - x^2$. Calcula su área.

Calcula los siguientes límites:

Determina para qué valores del parámetro real $a$ la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \\ a + 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de $A$ para $a = 2$.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$. Calcular $A^{-1}$ y $A^{20}$ utilizando necesariamente la siguiente identidad $A^3 = -I$ donde $I$ es la matriz identidad de orden tres.

La proyección ortogonal del punto $P(1, 0, -1)$, sobre el plano $\pi$ es el punto $Q(-3, 2, 5)$. Halla la ecuación del plano $\pi$ y las coordenadas del punto simétrico del $P$ respecto a dicho plano $\pi$.

Discute y resuelve, según los valores del parámetro real $m$, el sistema de ecuaciones lineales: $$\begin{cases} mx + y + z = 1, \\ x + my + z = m, \\ x + y + mz = m^2. \end{cases}$$

La estadística de un equipo de baloncesto en un partido, desvela que el $45\%$ de los puntos conseguidos por el equipo corresponde al jugador número 23, de los cuales el $65\%$ son triples; $15\%$ al jugador número 6 de los cuales el $25\%$ son triples y el resto de la puntuación, siendo el $10\%$ triples, corresponde a otros jugadores del equipo. Halla la probabilidad de que:

La estatura media de un jugador de fútbol del Real Madrid sigue una distribución normal de media $180\,\text{cm}$ y desviación típica $10\,\text{cm}$. Si se elige un jugador al azar, calcula: