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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2023Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2023

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. El alumno contestará a SÓLO CINCO ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación. Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Seaf(x)=1+4x4−x2x. f(x) = \frac{1 + 4x^4 - x^2}{x}.
i
Halla el dominio y asíntotas (horizontales, verticales y oblicuas) de la función ff en caso de que existan.
ii
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y máximos y mínimos relativos si los hubiera.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Dibuja el recinto limitado por las parábolas y=x2−8xy = x^2 - 8x e y=10−x2y = 10 - x^2. Calcula su área.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Calcula los siguientes límites:
i
lim⁡x→0(cos⁡2x)3x2\lim_{x \to 0} (\cos 2x)^{\frac{3}{x^2}}
ii
lim⁡x→∞(1+x)1x\lim_{x \to \infty} (1 + x)^{\frac{1}{x}}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Determina para qué valores del parámetro real aa la matriz AA:A=(1a+1111a+1a+111) A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 1 \\ 1 & 1 & a + 1 \\ a + 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} tiene inversa. Calcula, si es posible, la matriz inversa de AA para a=2a = 2.
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Ejercicio 5

5
2 puntos
i
Determina las matrices cuadradas de dimensión 2×22 \times 2 de la formaM=(2x0y), M = \begin{pmatrix} 2 & x \\ 0 & y \end{pmatrix}, tales que MMT=(5111)M M^T = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, donde MTM^T representa la matriz traspuesta de MM.
ii
Resuelve el sistema{AX+BY=C,AX=Y, \begin{cases} AX + BY = C, \\ AX = Y, \end{cases} sabiendo queA=(2101),B=(2011),C=(15373). A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 15 & 3 \\ 7 & 3 \end{pmatrix}.
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Dada la matriz A=(0341−4−5−134)A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}. Calcular A−1A^{-1} y A20A^{20} utilizando necesariamente la siguiente identidad A3=−IA^3 = -I donde II es la matriz identidad de orden tres.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
La proyección ortogonal del punto P(1,0,−1)P(1, 0, -1), sobre el plano π\pi es el punto Q(−3,2,5)Q(-3, 2, 5). Halla la ecuación del plano π\pi y las coordenadas del punto simétrico del PP respecto a dicho plano π\pi.
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Discute y resuelve, según los valores del parámetro real mm, el sistema de ecuaciones lineales:{mx+y+z=1,x+my+z=m,x+y+mz=m2. \begin{cases} mx + y + z = 1, \\ x + my + z = m, \\ x + y + mz = m^2. \end{cases}
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Ejercicio 9

9
2 puntos
La estadística de un equipo de baloncesto en un partido, desvela que el 45%45\% de los puntos conseguidos por el equipo corresponde al jugador número 23, de los cuales el 65%65\% son triples; 15%15\% al jugador número 6 de los cuales el 25%25\% son triples y el resto de la puntuación, siendo el 10%10\% triples, corresponde a otros jugadores del equipo. Halla la probabilidad de que:
i
una de las jugadas del equipo haya acabado en un triple.
ii
sabiendo que la canasta ha sido un triple, haya sido conseguida por el jugador número 23.
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Ejercicio 10

10
2 puntos
La estatura media de un jugador de fútbol del Real Madrid sigue una distribución normal de media 180 cm180\,\text{cm} y desviación típica 10 cm10\,\text{cm}. Si se elige un jugador al azar, calcula:
i
la probabilidad de que su altura sea superior o igual a 200 cm200\,\text{cm}.
ii
la probabilidad de que su altura esté entre 170170 y 190 cm190\,\text{cm}.
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