Matemáticas II · Extremadura 2023

Encontrar la matriz $X$ que verifica $(A - 3I) \cdot X = 2I$, donde $$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$ e $I$ es la matriz identidad de orden 3.

Determinar todos los números $x \in \mathbb{R}$ para los que el determinante $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix}$$ es mayor o igual que cero.

Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro $b$ $$\begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - bz = 2b \\ x + by + (1 + b)z = 1 \end{cases}$$

Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores $\vec{u} = (1, 2, 0)$ y $\vec{v} = (-1, 0, 1)$.

Calcular $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases}$ cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo $[0, 4]$.

Calcular la integral $$\int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx$$

Hallar el área encerrada por la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 4x$ y el eje de abscisas.

Al $80\,\%$ de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al $40\,\%$ les gusta el balonmano y al $30\,\%$ les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar,

Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de $0{,}3$. Calcular: