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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2023

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El examen consta de 10 preguntas, cuyo valor es de 2 puntos. El estudiante ha de elegir 5 preguntas. En ningún caso deberá responder a un número mayor del indicado porque en la corrección sólo se tendrán en cuenta las cinco primeras cuestiones/preguntas respondidas. Si se desea que alguna de ellas no sea tenida en cuenta, el estudiante ha de tacharla y dejarlo claramente indicado. En ese caso, además de las cuatro primeras preguntas sin tachar, se corregiría la que ocupe el sexto lugar. Se deben justificar todas las respuestas y soluciones.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Encontrar la matriz XX que verifica (A−3I)⋅X=2I(A - 3I) \cdot X = 2I, dondeA=(301000103) A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} e II es la matriz identidad de orden 3.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Determinar todos los números x∈Rx \in \mathbb{R} para los que el determinante∣10−10x341−x∣ \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{vmatrix} es mayor o igual que cero.
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Estudiar la posición relativa de los siguientes planos en función del parámetro bb{x+2y−z=2x+(1+b)y−bz=2bx+by+(1+b)z=1 \begin{cases} x + 2y - z = 2 \\ x + (1 + b)y - bz = 2b \\ x + by + (1 + b)z = 1 \end{cases}
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Hallar un vector de módulo 5 que sea ortogonal a los vectores u⃗=(1,2,0)\vec{u} = (1, 2, 0) y v⃗=(−1,0,1)\vec{v} = (-1, 0, 1).
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Ejercicio 5

5
2 puntos
a
Comprobar que hay alguna solución positiva y alguna negativa de la ecuaciónx⋅cos⁡(2x)=x2−1 x \cdot \cos(2x) = x^2 - 1 1,5 pts
b
Aproximar la solución positiva encontrada con un error menor que una décima.0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Calcular aa, bb y cc para que la función f(x)={x2+ax+bsi 0≤x<1cxsi 1≤x≤4f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ cx & \text{si } 1 \leq x \leq 4 \end{cases} cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [0,4][0, 4].
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Calcular la integral∫17−xx2+x−6 dx \int \frac{17 - x}{x^2 + x - 6} \, dx
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Hallar el área encerrada por la gráfica de la función f(x)=x3−4xf(x) = x^3 - 4x y el eje de abscisas.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Al 80 %80\,\% de los alumnos de una clase les gusta el fútbol; al 40 %40\,\% les gusta el balonmano y al 30 %30\,\% les gustan ambos deportes. Si se elige un alumno al azar,
a
¿Cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)?0,5 pts
b
¿Cuál es la probabilidad de que le guste solo el fútbol?0,75 pts
c
Si sabemos que no le gusta el fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que le guste el balonmano?0,75 pts
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Durante el día de hoy una persona va a escribir 15 mensajes en Facebook. Cada mensaje que escribe tiene errores ortográficos con una probabilidad de 0,30{,}3. Calcular:
a
La probabilidad de que escriba exactamente 5 mensajes con errores ortográficos.0,75 pts
b
La probabilidad de que escriba 4 ó más mensajes con errores.0,75 pts
c
La media y la desviación típica de la distribución.0,5 pts
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