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la cuevadel empollón
Matemáticas IICastilla-La ManchaPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · Castilla-La Mancha 2026

5 ejercicios90 min de duraciónCon formulario

Instrucciones

Tiempo
90 minutos
Qué responder
Responde a las preguntas 1, 2 y 3. En cada una de las preguntas 4 y 5, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Cada ejercicio completo vale 2 puntos.
Material
Solo se permiten calculadoras de tipo 1 y 2, según la información de las pruebas.
Además
Si resuelves ambas opciones de una pregunta, solo se corrige la primera resuelta. Redacta las respuestas con claridad, detalladamente y razonándolas. La falta de rigor matemático en las respuestas y los procedimientos puede penalizarse con hasta 1 punto en todo el examen.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Parte A
En un estudio sobre hábitos de consumo digital, se observa que la edad de las personas suscritas a plataformas de películas y series en streaming puede modelizarse mediante una distribución normal de media 3434 años y desviación típica de 66 años. Sea XX la variable aleatoria que representa la edad, en años, de una persona suscrita elegida al azar. Calcula:
a
La probabilidad de que una persona suscrita elegida al azar tenga una edad comprendida entre 2828 y 4646 años.1 pt
b
La edad KK tal que el 15,87%15{,}87\% de las personas suscritas tenga una edad superior a KK años.1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Parte A
En la toma de un antibiótico vía oral, la concentración en sangre (mg/l\text{mg/l}) tras su administración se puede modelizar como la función C(t)=12tt2+4C(t)=\frac{12t}{t^2+4}, donde tt es el tiempo transcurrido, en horas, desde la toma.
a
Determina el momento en el que la concentración en sangre es máxima.1 pt
b
La concentración media de dicho medicamento en el intervalo de tiempo [a,b][a, b] viene dada por la expresión 1b−a⋅∫abC(t) dt\frac{1}{b-a}\cdot\int_a^b C(t)\,dt. Calcula la concentración media entre las 00 y 66 horas.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Parte A
a
Estudia el rango de la siguiente matriz, en función del parámetro real aa.A=(aa−1a2−aa1aa1a−1)A=\begin{pmatrix}a&a-1&a^2-a\\a&1&a\\a&1&a-1\end{pmatrix}1,5 pts
b
¿Para qué valores de aa la matriz AA tiene inversa? Justifica tu respuesta.0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Parte B

Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

Se consideran los puntos A(1,1,0)A(1, 1, 0), B(2,0,1)B(2, 0, 1), C(0,2,1)C(0, 2, 1) y D(a,1,2)D(a, 1, 2), con aa un número real.
a
Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos AA, BB y CC.0,75 pts
b
Determina los valores reales del parámetro aa, para que el tetraedro formado por los cuatro puntos del enunciado tenga volumen 33 unidades cúbicas.1,25 pts
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Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (4.1 o 4.2)

Sean los puntos del espacio A(1,2,−1)A(1, 2, -1), B(3,6,1)B(3, 6, 1) y C(m,m,m−2)C(m, m, m-2), donde mm es un número real.
a
Determina el valor de mm para que los puntos AA, BB y CC estén alineados.0,75 pts
b
Para el valor de mm obtenido en el apartado anterior, determina la distancia del punto P(2,0,1)P(2, 0, 1) a la recta que forman AA, BB y CC.1,25 pts
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Parte B

Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

Dada la función f(x)=x3+ax2+bx+cf(x)=x^3+ax^2+bx+c
a
Halla, razonadamente, los coeficientes aa, bb y cc sabiendo que la función tiene un extremo relativo en el punto de coordenadas (1,4)(1, 4) y que la recta tangente en el punto de abscisa x=3x=3 es paralela a la recta de ecuación y=2x−1y=2x-11 pt
b
Para los valores de los coeficientes obtenidos en el apartado anterior, determina la ecuación de la recta normal a f(x)f(x) en x=0x=0.1 pt
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Conteste solo UNA de las siguientes preguntas (5.1 o 5.2)

Resuelve los siguientes apartados
a
Calcula razonadamente el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones f(x)=3xf(x)=\frac{3}{x} y g(x)=−x+4g(x)=-x+4.1,25 pts
b
Calcula razonadamente el siguiente límite lim⁡x→0ex−sen⁡x−1x2\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x-\operatorname{sen}x-1}{x^2}0,75 pts
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Formulario

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00,010,020,030,040,050,060,070,080,09
00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
10,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
20,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952