Matemáticas II · Asturias 2010

Dado el sistema $$\begin{cases} ax + y + z = a \\ x + y + z = a \\ y + az = 2 \end{cases}$$

Dada la matriz $$A = \begin{pmatrix} -x & 1 & 1 \\ 1 & -x & 1 \\ 1 & 1 & -x \end{pmatrix}$$

Se consideran la recta $r$ que pasa por los puntos $P(1,2,3)$ y $Q(1,-1,3)$, y el plano $\pi$ que contiene a los puntos $A(1,0,1)$, $B(2,-1,3)$ y $C(4,1,0)$. Calcule:

Considere las rectas $r \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = z$ y $s \equiv \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = z$

La gráfica de la parábola $y^2 = 8x$ y la recta $x = 2$ encierran un recinto plano.

Se considera la función $$f(x) = \begin{cases} x \ln x & \text{si } x > 0 \\ ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \end{cases}$$ Determine los valores de $a$, $b$ y $c$ para que la función sea continua, tenga un máximo en $x = -1$ y la tangente en $x = -2$ sea paralela a la recta $y = 2x$.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $10\,\text{cm}$. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máxima.

La gráfica de la curva $f(x) = \frac{4}{2 - x}$ y las rectas $y = 4$ y $x = 0$ encierran un recinto plano.