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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAsturiasPAU 2010Ordinaria

Matemáticas II · Asturias 2010

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. b) Tiene que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) Conteste de forma razonada y escriba ordenadamente y con letra clara. d) Todos los procesos que conducen a resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dado el sistema{ax+y+z=ax+y+z=ay+az=2\begin{cases} ax + y + z = a \\ x + y + z = a \\ y + az = 2 \end{cases}
a
Estudie su compatibilidad según los distintos valores de aa.1 pt
b
Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Se consideran la recta rr que pasa por los puntos P(1,2,3)P(1,2,3) y Q(1,−1,3)Q(1,-1,3), y el plano π\pi que contiene a los puntos A(1,0,1)A(1,0,1), B(2,−1,3)B(2,-1,3) y C(4,1,0)C(4,1,0). Calcule:
a
Las ecuaciones implícitas de rr y π\pi.1,5 pts
b
La posición relativa de rr y π\pi.1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
La gráfica de la parábola y2=8xy^2 = 8x y la recta x=2x = 2 encierran un recinto plano.
a
Dibuje aproximadamente dicho recinto.0,75 pts
b
Calcule el área de ese recinto.1,75 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm10\,\text{cm}. Halle las dimensiones de los catetos de forma que el área del triángulo sea máxima.
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Dada la matriz A=(−x111−x111−x)A = \begin{pmatrix} -x & 1 & 1 \\ 1 & -x & 1 \\ 1 & 1 & -x \end{pmatrix}
Datos
  • det⁡(A)\det(A) denota el determinante de la matriz AA
a
Resuelva la ecuación det⁡(A)=0\det(A) = 0.1,5 pts
b
Calcule el rango de la matriz AA según los valores de xx.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Considere las rectas r≡x−12=y−23=zr \equiv \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = z y s≡x+13=y−12=zs \equiv \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 1}{2} = z
a
Dé su posición relativa.1 pt
b
Obtenga, si es posible, un plano paralelo a ss que contenga a rr.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Se considera la función f(x)={xln⁡xsi x>0ax2+bx+csi x≤0f(x) = \begin{cases} x \ln x & \text{si } x > 0 \\ ax^2 + bx + c & \text{si } x \leq 0 \end{cases}Determine los valores de aa, bb y cc para que la función sea continua, tenga un máximo en x=−1x = -1 y la tangente en x=−2x = -2 sea paralela a la recta y=2xy = 2x.
Datos
  • ln⁡x\ln x denota el logaritmo neperiano de xx
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
La gráfica de la curva f(x)=42−xf(x) = \frac{4}{2 - x} y las rectas y=4y = 4 y x=0x = 0 encierran un recinto plano.
a
Dibuje aproximadamente dicho recinto.0,75 pts
b
Calcule el área de ese recinto.1,75 pts
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