Saltar al contenido
la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Todas las cuestiones deben responderse en el papel entregado para la realización del examen y nunca en los folios que contienen los enunciados. c) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 4 bloques de 2 ejercicios cada uno. d) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. e) Se realizará únicamente un ejercicio de cada bloque. En caso de responder a dos ejercicios de un bloque, sólo se corregirá el que aparezca físicamente en primer lugar. f) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. g) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

De entre todos los rectángulos de área 25 cm225\,\text{cm}^2, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.
Ver este ejercicio

Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque A

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Considera la función definida por f(x)=ax3+x−1x2+bx−3f(x) = \frac{ax^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3}, para x2+bx−3≠0x^2 + bx - 3 \neq 0.
a
Calcula aa y bb para que y=x−2y = x - 2 sea una asíntota oblicua de la gráfica de ff.1,5 pts
b
Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de ff cuando a=0a = 0 y b=2b = 2.1 pt
Ver este ejercicio

Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Considera la funciónf(x)={1−exsi x≤0xcos⁡(x)si x>0 f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \leq 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases} Calcula ∫−ππf(x) dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx.
Ver este ejercicio

Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque B

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Calcula una primitiva de la función f:(1,+∞)→Rf: (1, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=(x−1)2ln⁡x−12f(x) = (x - 1)^2 \ln \frac{\sqrt{x - 1}}{2} cuya gráfica pase por el punto (5,−7/2)(5, -7/2), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable x−1=t2x - 1 = t^2).
Ver este ejercicio

Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera las matrices A=(xyz302111)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1yz)B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} y C=(300)C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a
Sabiendo que el determinante de AA es 55, calcula ∣x−1y−1z−1111413∣\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}, indicando las propiedades que utilizas.1 pt
b
Calcula los valores (x,y,z)(x, y, z) tales que B⋅A=CB \cdot A = C.1,5 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque C

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera el sistema(5−2−320−23−2−1)(xyz)=m(xyz) \begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a
Determina los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado.1,75 pts
b
Para m=2m = 2 resuelve el sistema, si es posible.0,75 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera las rectas r≡x=y+a=z+12r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2} y s≡{x−2y=3ax+z=2s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}
a
Calcula aa para que las rectas se corten.1,25 pts
b
Para a=−1a = -1, halla la recta que corta perpendicularmente a rr y ss.1,25 pts
Ver este ejercicio

Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque D

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera los vectores u⃗=(1,a,2)\vec{u} = (1, a, 2) y v⃗=(−2,1,a)\vec{v} = (-2, 1, a).
a
Calcula aa para que ambos vectores formen un ángulo de π/3\pi/3 radianes.1 pt
b
Calcula aa para que el vector (u⃗×v⃗)−v⃗(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v} sea ortogonal a u⃗\vec{u}.1,5 pts
Ver este ejercicio