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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2024ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2024

8 ejercicios90 min de duración

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

De entre todos los rectángulos de área 25 cm225\,\text{cm}^2, determina las dimensiones de aquel en el que el producto de las longitudes de sus dos diagonales sea el menor posible.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque a

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE A.

Considera la función definida por f(x)=ax3+x−1x2+bx−3f(x) = \frac{ax^3 + x - 1}{x^2 + bx - 3}, para x2+bx−3≠0x^2 + bx - 3 \neq 0.
a)1,5 pts
Calcula aa y bb para que y=x−2y = x - 2 sea una asíntota oblicua de la gráfica de ff.
b)1 pts
Estudia y halla las asíntotas verticales de la gráfica de ff cuando a=0a = 0 y b=2b = 2.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Considera la función f(x)={1−exsi x≤0xcos⁡(x)si x>0 f(x) = \begin{cases} 1 - e^x & \text{si } x \leq 0 \\ x \cos(x) & \text{si } x > 0 \end{cases} Calcula ∫−ππf(x) dx\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx.
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque b

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE B.

Calcula una primitiva de la función f:(1,+∞)→Rf: (1, +\infty) \to \mathbb{R} definida por f(x)=(x−1)2ln⁡x−12f(x) = (x - 1)^2 \ln \frac{\sqrt{x - 1}}{2} cuya gráfica pase por el punto (5,−7/2)(5, -7/2), donde ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable x−1=t2x - 1 = t^2).
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Ejercicio 5

5
2,5 puntos
Bloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera las matrices A=(xyz302111)A = \begin{pmatrix} x & y & z \\ 3 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}, B=(1yz)B = \begin{pmatrix} 1 & y & z \end{pmatrix} y C=(300)C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
a)1 pts
Sabiendo que el determinante de AA es 55, calcula ∣x−1y−1z−1111413∣\begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix}, indicando las propiedades que utilizas.
b)1,5 pts
Calcula los valores (x,y,z)(x, y, z) tales que B⋅A=CB \cdot A = C.
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Ejercicio 6

6
2,5 puntos
Bloque c

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE C.

Considera el sistema (5−2−320−23−2−1)(xyz)=m(xyz) \begin{pmatrix} 5 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}
a)1,75 pts
Determina los valores de mm para los que el sistema es compatible indeterminado.
b)0,75 pts
Para m=2m = 2 resuelve el sistema, si es posible.
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Ejercicio 7

7
2,5 puntos
Bloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera las rectas r≡x=y+a=z+12r \equiv x = y + a = \frac{z + 1}{2} y s≡{x−2y=3ax+z=2s \equiv \begin{cases} x - 2y = 3a \\ x + z = 2 \end{cases}
a)1,25 pts
Calcula aa para que las rectas se corten.
b)1,25 pts
Para a=−1a = -1, halla la recta que corta perpendicularmente a rr y ss.
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Ejercicio 8

8
2,5 puntos
Bloque d

Resuelva sólo uno de los siguientes ejercicios del BLOQUE D.

Considera los vectores u⃗=(1,a,2)\vec{u} = (1, a, 2) y v⃗=(−2,1,a)\vec{v} = (-2, 1, a).
a)1 pts
Calcula aa para que ambos vectores formen un ángulo de π/3\pi/3 radianes.
b)1,5 pts
Calcula aa para que el vector (u⃗×v⃗)−v⃗(\vec{u} \times \vec{v}) - \vec{v} sea ortogonal a u⃗\vec{u}.
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