Matemáticas II · Murcia 2010

Definición de rango de una matriz. Calcular el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $k$.

Discutir y resolver el sistema siguiente en función de los posibles valores del parámetro $k$. $$\begin{cases} x + 2y + 4z = 0 \\ -2x - 4z = 0 \\ x - y + z = k \end{cases}$$

Calcular el punto más cercano al punto $P = (1, 0, -1)$ de entre todos los puntos del plano determinado por los puntos $Q = (2, 2, 1)$, $R = (0, 1, 2)$ y $S = (0, 0, 1)$. Calcular la distancia de punto $P$ al plano.

Estudiar la posición relativa de las rectas $$r: x + 1 = y = 1 - z$$ y $$s: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ y calcular la distancia entre ellas.

Dada la función $f(x) = \frac{x + 1}{4 - x^2}$, se pide:

Definición de derivada de una función en un punto. Demostrar que la derivada de la función $f(x) = x^2$ es $f'(x) = 2x$.

Enunciar el teorema fundamental del cálculo integral y calcular la integral siguiente: $$\int \frac{x^2}{x^2 - 9} dx$$

Calcular el área de la región delimitada por el eje $x$ y la función $f(x) = x - \sqrt{x}$.