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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2021ExtraordinariaReserva B

Matemáticas II · Andalucía 2021

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2.5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0.25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Calcula a,b,ca, b, c y dd sabiendo que la gráfica de la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d tiene un punto de inflexión en (0,4)(0, 4) y su recta normal en el punto (1,8)(1, 8) es paralela al eje de ordenadas.
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Considera la función ff definida por f(x)=x2−10x2+2x−3f(x) = \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} para x≠−3,x≠1x \neq -3, x \neq 1.
a
Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de ff.1,25 pts
b
Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1,25 pts
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=exf(x) = e^x.
a
Calcula aa para que la recta tangente a la gráfica de ff en el punto (a,f(a))(a, f(a)) pase por el origen de coordenadas.1,25 pts
b
Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de ff, la recta tangente a la misma en el punto (1,f(1))(1, f(1)) y el eje de ordenadas.1,25 pts
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Calcula ∫13∣x2−3x+2∣ dx\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| \, dx.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Considera la matriz A=(a21b−11c11)A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}, con determinante igual a 55.
a
Calcula razonadamente el determinante de 2A32A^3.0,5 pts
b
Calcula razonadamente los determinantes∣2a−132b1/232c−1/23∣y∣abca+4b−2c+2a+1b+1c+1∣\begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{vmatrix} \quad \text{y} \quad \begin{vmatrix} a & b & c \\ a + 4 & b - 2 & c + 2 \\ a + 1 & b + 1 & c + 1 \end{vmatrix}2 pts
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales{x+my+mz=1x+2my+(m+1)z=12x+my+mz=2\begin{cases} x + my + mz = 1 \\ x + 2my + (m + 1)z = 1 \\ 2x + my + mz = 2 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de mm.1,75 pts
b
Resuelve el sistema, si es posible, para m=1m = 1.0,75 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Considera el punto P(1,2,6)P(1, 2, 6) y el plano π≡2x−y+z=0\pi \equiv 2x - y + z = 0.
a
Halla las ecuaciones de los planos paralelos a π\pi cuya distancia a éste sea 6\sqrt{6} unidades.1,25 pts
b
Halla el simétrico del punto PP respecto al plano π\pi.1,25 pts
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Considera los puntos B(−1,0,−1)B(-1, 0, -1), C(0,1,−3)C(0, 1, -3) y la recta r≡{x=−λy=1+2λz=−1+λr \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}
a
Calcula un punto que esté en rr y equidiste de BB y CC.1,25 pts
b
Siendo D(1,−1,−2)D(1, -1, -2), calcula el área del triángulo con vértices en los puntos B,CB, C y DD.1,25 pts
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