Matemáticas II · Andalucía 2021

Calcula $a, b, c$ y $d$ sabiendo que la gráfica de la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ tiene un punto de inflexión en $(0, 4)$ y su recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas.

Considera la función $f$ definida por $f(x) = \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3}$ para $x \neq -3, x \neq 1$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = e^x$.

Calcula $\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| \, dx$.

Considera la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{pmatrix}$, con determinante igual a $5$.

Considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\begin{cases} x + my + mz = 1 \\ x + 2my + (m + 1)z = 1 \\ 2x + my + mz = 2 \end{cases}$$

Considera el punto $P(1, 2, 6)$ y el plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$.

Considera los puntos $B(-1, 0, -1)$, $C(0, 1, -3)$ y la recta $r \equiv \begin{cases} x = -\lambda \\ y = 1 + 2\lambda \\ z = -1 + \lambda \end{cases}$