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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2012Variante 4

Matemáticas II · Andalucía 2012

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sea la función f:R→Rf : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=ex(x−2)f(x) = e^x(x - 2)
a
Calcula las asíntotas de ff.1 pt
b
Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de ff.1 pt
c
Determina, si existen, los puntos de inflexión de la gráfica de ff.0,5 pts
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea ff una función continua en el intervalo [2,3][2, 3] y FF una función primitiva de ff tal que F(2)=1F(2) = 1 y F(3)=2F(3) = 2. Calcula:
a
∫23f(x)dx\int_{2}^{3} f(x) dx0,75 pts
b
∫23(5f(x)−7)dx\int_{2}^{3} (5 f(x) - 7) dx0,75 pts
c
∫23(F(x))2f(x)dx\int_{2}^{3} (F(x))^2 f(x) dx1 pt
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Sea la matriz A=(0012121k1)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & k & 1 \end{pmatrix}
a
¿Para qué valores del parámetro kk no existe la inversa de la matriz AA? Justifica la respuesta.1 pt
b
Para k=0k = 0, resuelve la ecuación matricial (X+I)A=At(X + I) A = A^t, donde II denota la matriz identidad y AtA^t la matriz traspuesta de AA.1,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
De un paralelogramo ABCDABCD conocemos tres vértices consecutivos: A(2,−1,0)A(2, -1, 0), B(−2,1,0)B(-2, 1, 0) y C(0,1,2)C(0, 1, 2).
a
Calcula la ecuación de la recta que pasa por el centro del paralelogramo y es perpendicular al plano que lo contiene.1 pt
b
Halla el área de dicho paralelogramo.0,75 pts
c
Calcula el vértice DD.0,75 pts
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0a⋅sen⁡(x)−xexx2\lim_{x \to 0} \frac{a \cdot \operatorname{sen}(x) - x e^x}{x^2} es finito, calcula el valor de aa y el de dicho límite.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Sea la función ff definida por f(x)=2x2−1f(x) = \frac{2}{x^2 - 1} para x≠−1x \neq -1 y x≠1x \neq 1.
a
Halla una primitiva de ff.1,25 pts
b
Calcula el valor de kk para que el área del recinto limitado por el eje de abscisas y la gráfica de ff en el intervalo [2,k][2, k] sea ln⁡(2)\ln(2), donde ln⁡\ln denota el logaritmo neperiano.1,25 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el sistema de ecuaciones{x+y+z=λ+13y+2z=2λ+33x+(λ−1)y+z=λ\begin{cases} x + y + z = \lambda + 1 \\ 3y + 2z = 2\lambda + 3 \\ 3x + (\lambda - 1)y + z = \lambda \end{cases}
a
Resuelve el sistema para λ=1\lambda = 1.1 pt
b
Halla los valores de λ\lambda para los que el sistema tiene una única solución.1 pt
c
¿Existe algún valor de λ\lambda para el que el sistema admite la solución (−1012)\begin{pmatrix} -1 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}?0,5 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean rr y ss las rectas dadas porr≡{x+y−z=6x+z=3s≡x−1−1=y+16=z2r \equiv \begin{cases} x + y - z = 6 \\ x + z = 3 \end{cases} \qquad \qquad s \equiv \frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 1}{6} = \frac{z}{2}
a
Determina el punto de intersección de ambas rectas.1,25 pts
b
Calcula la ecuación general del plano que las contiene.1,25 pts
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