Matemáticas II · Castilla y León 2024

a) Discutir según los valores del parámetro \(\lambda\) el siguiente sistema: \[\begin{cases} \lambda x + y - z = 1 \\ -x + y - 2z = 0 \\ 2y + \lambda z = 1 \end{cases}\] (1,2 puntos) b) Resolverlo para \(\lambda = 1\). (0,8 puntos)

Dadas las matrices \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\), \(C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\); \(D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\), hallar la matriz \(X\) tal que \(AB + CX = D\).

Dados la recta \(r \equiv x = y = z\), el plano \(\pi \equiv x + 2y - 3z = 0\) y el punto \(P = (1, 1, 1)\), se pide: a) Determinar la posición relativa de \(r\) y \(\pi\). (1 punto) b) Hallar la recta perpendicular a \(r\) contenida en \(\pi\) que pasa por \(P\). (1 punto)

Determinar el plano que pasa por los puntos \(P = (1, 1, 2)\) y \(Q = (3, -1, 1)\) y es paralelo a la recta \(r \equiv x - 1 = y = z\).

Dada la función \(f(x) = e^x + x^3 - 2\), demostrar que \(f(x)\) se anula para algún valor de \(x\) y que ese valor es único.

Dada la función \(f(x) = \begin{cases} \frac{\cos(x) - a}{bx^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{cases}\), ¿qué valores tienen que tomar los parámetros \(a \in \mathbb{R}\) y \(b \in \mathbb{R} - \{0\}\) para que esta función sea continua en todo \(\mathbb{R}\)?

Calcular los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) para los cuales la función \(f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c\), tiene extremos relativos en \(x = 0\) y \(x = 2\) y además la gráfica de \(f(x)\) corta al eje de abscisas para \(x = 1\).

a) Dada la función \(f(x) = \frac{\ln(x)}{x^2 - 3x + 2}\), hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales. (1 punto) b) Calcular \(\int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} dx\). (1 punto)

Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un 50% son convencionales (es decir, con motor de gasolina o de gasoil), un 30% híbridos y un 20% eléctricos. De ellos, un 70% de los convencionales, un 80% de los híbridos y un 85% de los eléctricos tienen potencia <140 CV y el resto la tienen ≥ 140 CV. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia ≥ 140 CV. Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia ≥ 140 CV. (1 punto) b) Si se sabe que el coche elegido tiene al menos 140 CV, ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional? (1 punto)

Suponiendo que el tiempo que dura una partida de torneo entre maestros de ajedrez sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos, calcular: a) La probabilidad de que una determinada partida de ajedrez jugada en un torneo de maestros acabe en menos de dos horas. (1 punto) b) El porcentaje de partidas de torneo entre maestros de ajedrez que duran más de tres horas y 50 minutos. (1 punto)