Matemáticas II · Asturias 2018

Discutir el sistema y resolver en los casos compatibles: {2x + y + z = a; 2x + y + 2z = 2a; 2x + y + 3z = 3}.

Dada la matriz A, calcula: A = [[1, 0, 0, 1], [2, 3, 1, 4], [1, 6, 2, 4]] a) Su rango. (1.5 puntos) b) Si existe, una columna combinación lineal de las restantes. (0.5 puntos) c) Si existe, una fila combinación lineal de las restantes. (0.5 puntos)

Se tiene una abrevadero de longitud 6 m y de altura 1 m. Su sección es la descrita en la figura formada por la función y = x². Por h indicamos la altura del nivel del líquido. a) Comprueba que el área de la región S, sombreada en la figura, en función de h se puede expresar como S(h) = (4h√h)/3. (1.5 puntos) b) Determina la altura h donde se alcanza la mitad del volumen total del abrevadero. (Nota: Volumen = S × longitud). (1 punto)

Se tienen 20 m de marco metálico para construir una valla publicitaria rectangular. El terreno donde se quiere instalar la valla es fangoso y al colocarla se hunde una altura h que es la quinta parte de la anchura de la valla. Calcula las medidas de la valla de forma que el área visible (la sombreada en la figura) sea la máxima posible.

Los puntos A(0, 1, 0) y B(−1, 1, 1) son dos vértices de un triángulo. El tercero C pertenece a la recta r: {x = 4; z = 1}. Además la recta que une A y C es perpendicular a la recta r. a) Determina el punto C. (1.5 puntos) b) Calcula el área del triángulo. (1 punto)

Dados los puntos A(2, 1, 0) y B(1, 0, −1) y r la recta que determinan. Y sea s la recta definida por s: {x + y = 2; y + z = 0}. a) Estudia la posición relativa de las rectas. (1.25 puntos) b) Determina un punto C de la recta s tal que los vectores CA y CB sean perpendiculares. (1.25 puntos)

Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se lanza. a) Calcula la probabilidad de sacar 5. (1.25 puntos) b) Si el resultado de la tirada es 5, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? (1.25 puntos)

En una ciudad hay dos equipos destacados, uno de fútbol y otro de baloncesto. Todos los habitantes son seguidores de alguno de los dos equipos. Se sabe que hay un 60% de seguidores del equipo de fútbol y otro 60% del equipo de baloncesto. Calcula: a) La probabilidad de que un habitante sea seguidor de ambos equipos a la vez. (1 punto) b) La probabilidad de que un habitante sea únicamente seguidor del equipo de fútbol. (0.5 puntos) c) Se elige al azar un habitante de la ciudad y se comprueba que es seguidor del equipo de baloncesto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea también seguidor del equipo de fútbol? (1 punto)