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la cuevadel empollón
Matemáticas IIExtremaduraPAU 2024Ordinaria

Matemáticas II · Extremadura 2024

10 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. El/la estudiante debe indicar claramente, en la primera página del tríptico, cuáles han sido las 5 preguntas elegidas. (Si no se indica, y se han respondido más de 5 preguntas, sólo se corregirán las 5 preguntas que se han respondido en primer lugar). Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Se consideran las matrices A=(12m1−1−1)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}, B=(12m002)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}, donde mm es un número real. Encuentra los valores de mm para los que A⋅BA \cdot B tiene inversa.
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Determina para qué valores del parámetro mm el sistema es compatible determinado y resuélvelo para esos valores.{x+2y−z=0mx+y+z=1x+y+mz=1\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ mx + y + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \end{cases}
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se consideran los puntos A(0,5,3)A(0, 5, 3), B(0,6,4)B(0, 6, 4), C(2,4,2)C(2, 4, 2) y D(2,3,1)D(2, 3, 1) y se pide: a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. (0,75 punto) b) Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área. (1,25 puntos)
a
Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios.0,75 pts
b
Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área.1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2 puntos
Considere el plano π:2x+y−z=1\pi: 2x + y - z = 1 y el punto A(1,0,−1)A(1, 0, -1). a) Calcule la recta perpendicular a π\pi que pasa por el punto AA. (1 punto) b) Calcule el punto del plano π\pi que está más cerca de AA. (1 punto)
a
Calcule la recta perpendicular a π\pi que pasa por el punto AA.1 pt
b
Calcule el punto del plano π\pi que está más cerca de AA.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos
Sea la función f(x)=x21−xf(x) = \dfrac{x^2}{1-x}. a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de f(x)f(x). (1,5 puntos) b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x)f(x). (0,5 puntos)
a
Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de f(x)f(x).1,5 pts
b
Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de f(x)f(x).0,5 pts
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Ejercicio 6

6
2 puntos
Considere la función f(x)={ex+e−x−2x⋅cos⁡xx<0b(x+1)x≥0f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{x \cdot \cos x} & x < 0 \\ b(x+1) & x \geq 0 \end{cases} Calcule el valor de bb para que f(x)f(x) sea continua en x=0x = 0.
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Ejercicio 7

7
2 puntos
Calcula la siguiente integral:∫x−4x2+2x dx\int \frac{x-4}{x^2 + 2x}\,dx
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Ejercicio 8

8
2 puntos
Calcule el área del recinto plano limitado por h(x)=x3−xh(x) = x^3 - x y el eje OXOX.
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Ejercicio 9

9
2 puntos
Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Si se selecciona al azar una resistencia: a) Calcular la probabilidad de que sea defectuosa. (1 punto) b) Si es defectuosa, calcular la probabilidad de que proceda del operario A. (1 punto)
a
Calcular la probabilidad de que sea defectuosa.1 pt
b
Si es defectuosa, calcular la probabilidad de que proceda del operario A.1 pt
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Ejercicio 10

10
2 puntos
Un equipo de cirujanos infantiles ha comprobado que en cierta intervención quirúrgica hay un 15% de posibilidades de que se produzcan complicaciones si el niño tiene menos de 2 años. Un total de 10 niños menores de dos años fueron sometidos a dicha intervención quirúrgica. Determinar justificando las respuestas: a) La probabilidad de que se produzca alguna complicación en tres niños. (0,75 puntos) b) La probabilidad de que se produzca alguna complicación en algún niño. (0,75 puntos) c) El número medio de complicaciones en los 10 niños y la desviación típica. (0,5 puntos)
a
La probabilidad de que se produzca alguna complicación en tres niños.0,75 pts
b
La probabilidad de que se produzca alguna complicación en algún niño.0,75 pts
c
El número medio de complicaciones en los 10 niños y la desviación típica.0,5 pts
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