Matemáticas II · Extremadura 2024

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$, donde $m$ es un número real. Encuentra los valores de $m$ para los que $A \cdot B$ tiene inversa.

Determina para qué valores del parámetro $m$ el sistema es compatible determinado y resuélvelo para esos valores. $$\begin{cases} x + 2y - z = 0 \\ mx + y + z = 1 \\ x + y + mz = 1 \end{cases}$$

Se consideran los puntos $A(0, 5, 3)$, $B(0, 6, 4)$, $C(2, 4, 2)$ y $D(2, 3, 1)$ y se pide: a) Comprobar que los cuatro puntos son coplanarios. (0,75 punto) b) Demostrar que es un paralelogramo y calcular su área. (1,25 puntos)

Considere el plano $\pi: 2x + y - z = 1$ y el punto $A(1, 0, -1)$. a) Calcule la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por el punto $A$. (1 punto) b) Calcule el punto del plano $\pi$ que está más cerca de $A$. (1 punto)

Sea la función $f(x) = \dfrac{x^2}{1-x}$. a) Estudiar las asíntotas, monotonía y puntos extremos de $f(x)$. (1,5 puntos) b) Con los datos obtenidos, representar de forma aproximada la gráfica de $f(x)$. (0,5 puntos)

Considere la función $f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^x + e^{-x} - 2}{x \cdot \cos x} & x < 0 \\ b(x+1) & x \geq 0 \end{cases}$ Calcule el valor de $b$ para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$.

Calcula la siguiente integral: $$\int \frac{x-4}{x^2 + 2x}\,dx$$

Calcule el área del recinto plano limitado por $h(x) = x^3 - x$ y el eje $OX$.

Los operarios A, B y C producen, respectivamente, el 50%, el 30% y el 20% de las resistencias que se utilizan en un laboratorio de electrónica. Resultan defectuosas el 6% de las resistencias producidas por A, el 5% de las producidas por B y el 3% de las producidas por C. Si se selecciona al azar una resistencia: a) Calcular la probabilidad de que sea defectuosa. (1 punto) b) Si es defectuosa, calcular la probabilidad de que proceda del operario A. (1 punto)

Un equipo de cirujanos infantiles ha comprobado que en cierta intervención quirúrgica hay un 15% de posibilidades de que se produzcan complicaciones si el niño tiene menos de 2 años. Un total de 10 niños menores de dos años fueron sometidos a dicha intervención quirúrgica. Determinar justificando las respuestas: a) La probabilidad de que se produzca alguna complicación en tres niños. (0,75 puntos) b) La probabilidad de que se produzca alguna complicación en algún niño. (0,75 puntos) c) El número medio de complicaciones en los 10 niños y la desviación típica. (0,5 puntos)