Matemáticas II · Andalucía 2015

Halla los valores $a$, $b$ y $c$ sabiendo que la gráfica de la función $f(x) = \frac{ax^2 + b}{x + c}$ tiene una asíntota vertical en $x = 1$, una asíntota oblicua de pendiente 2, y un extremo local en el punto de abscisa $x = 3$.

Un granjero desea vallar un terreno rectangular de pasto adyacente a un río. El terreno debe tener $180\,000\,\text{m}^2$ para producir suficiente pasto para su ganado. ¿Qué dimensiones tendrá el terreno rectangular de modo que utilice la mínima cantidad de valla, si el lado que da al río no necesita vallado?

Calcula $\int_{0}^{\pi} x^2 \operatorname{sen}(x) dx$.

Sea $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la función definida por $f(x) = |x^2 - 4|$

Considera las siguientes matrices: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{y} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} 2x + y + (\alpha - 1)z = \alpha - 1 \\ x - \alpha y - 3z = 1 \\ x + y + 2z = 2\alpha - 2 \end{cases}$$

Sea $r$ la recta definida por $\begin{cases} x = 1 \\ y = 1 \\ z = \lambda - 2 \end{cases}$ y $s$ la recta dada por $\begin{cases} x - y = 1 \\ z = -1 \end{cases}$

Considera el plano $\pi$ de ecuación $mx + 5y + 2z = 0$ y la recta $r$ dada por $$\frac{x + 1}{3} = \frac{y}{n} = \frac{z - 1}{2}$$