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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2026Extraordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2026

5 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a los cinco ejercicios. En el cuarto y el quinto, elige una de las dos opciones.
Puntuación
Cada ejercicio vale 2 puntos.
Material
Calculadora sin pantalla gráfica, transmisión de datos, programación, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, derivadas o integrales, ni almacenamiento de datos alfanuméricos.
Además
Si respondes a las dos opciones de un ejercicio, solo se corrige la que aparezca en primer lugar.

Ejercicio 1

1
2 puntos
Una central lechera recoge leche de tres productores locales, A, B y C. El productor A lleva su leche en recipientes de 10 litros10\,\text{litros} y se le paga a 5 €5\,\text{€} por cada recipiente. La productora B utiliza recipientes de 15 litros15\,\text{litros} y recibe 9 €9\,\text{€} por cada recipiente. Por último, la productora C aporta recipientes de 12 litros12\,\text{litros} y se le paga a 4 €4\,\text{€} por cada uno. En la última semana, se han recogido un total de 612 litros612\,\text{litros} de leche, en 4848 recipientes y se debe pagar en total 304 €304\,\text{€}, a repartir entre los tres ganaderos.
a
Plantea el sistema de ecuaciones que modeliza la situación descrita.1 pt
b
¿Cuánto se debe pagar a cada productor por la leche que ha llevado a la central la última semana?1 pt
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Ejercicio 2

2
2 puntos
Sea f(x)=x3+Ax2+Bx+Cf(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C.
a
Encuentra los valores de AA, BB y CC para que la tangente a la gráfica de ff en el punto de abscisa x=0x = 0 sea la recta y=3−3xy = 3 - 3x y ff tenga un extremo relativo en x=1x = 1.1,5 pts
b
El extremo relativo de ff en el punto x=1x = 1, ¿es un máximo o un mínimo?0,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Se ha realizado un estudio de la venta de coches del año 2025 en España. De un total de 1 148 6501\,148\,650 unidades vendidas, el 10 %10\,\% corresponde a coches totalmente eléctricos, siendo todos ellos de cambio automático; el 52 %52\,\% de las unidades vendidas corresponde a coches híbridos, siendo de cambio manual el 6 %6\,\% de ellos; del resto de unidades vendidas, tienen cambio automático el 53 %53\,\% de ellos.
a
Calcula la cantidad de coches con cambio automático vendidos en España en 2025.1 pt
b
Elegido al azar un coche vendido en España en 2025 y sabiendo que tiene cambio automático, calcula la probabilidad de que sea híbrido.1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Sea PP el punto de corte de las rectasr1≡{x=1+t,y=0,z=−t;r_1 \equiv \begin{cases}x = 1 + t, \\ y = 0, \\ z = -t;\end{cases}r2≡{x=s,y=−1+s,z=0.r_2 \equiv \begin{cases}x = s, \\ y = -1 + s, \\ z = 0.\end{cases}Calcula el punto P′P^\prime simétrico de PP con respecto al plano de ecuación 2x+y−z=32x + y - z = 3.
Ver este ejercicio

Responde solo a una de las opciones.

Sea rr la recta que pasa por el punto P(1,7,4)P(1, 7, 4) y cuyo vector director es v⃗=(6,3,−5)\vec{v} = (6, 3, -5) y sea π≡2x+y−3z=−13\pi \equiv 2x + y - 3z = -13.
a
Calcula el punto de corte de la recta rr con el plano π\pi.1 pt
b
Calcula el ángulo mínimo formado por la recta rr y el plano π\pi.1 pt
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Ejercicio 5

5
2 puntos

Responde solo a una de las opciones.

Calcula la integral∫x2−2x+3x2−x−2 dx,\int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^2 - x - 2}\,dx,explicando los pasos realizados.
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Responde solo a una de las opciones.

a
Dibuja el recinto limitado por la parábola de ecuación y=x2−π2y = x^2 - \pi^2 y la gráfica de la función f(x)=cos⁡(x/2)f(x) = \cos(x/2).1 pt
b
Calcula el área del recinto del apartado anterior, escribiendo el resultado en función del número π\pi.1 pt
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Formulario

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Curva normal del anexo de tablas Área sombreada bajo la curva normal desde menos infinito hasta un límite z situado a la derecha del eje vertical. z
Áreas limitadas por la curva N(0,1)N(0,1) desde −∞-\infty hasta zz
0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,09
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
3,60,99980,99980,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,70,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,80,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,99990,9999
3,91,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,0000