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la cuevadel empollón
Matemáticas IIPaís VascoPAU 2020Ordinaria

Matemáticas II · País Vasco 2020

10 ejercicios

Instrucciones

El examen incluye tabla N(0,1) como anexo. Este examen tiene cinco partes, de 2,5 puntos cada una. Debes responder a CUATRO de ellas. En cada parte debes responder a una única pregunta. En caso de responder a más preguntas de las estipuladas, las respuestas se corregirán en orden hasta llegar al número necesario. No olvides incluir el código en cada una de las hojas de examen. No se podrán usar calculadoras que tengan alguna de las siguientes prestaciones: pantalla gráfica, posibilidad de transmitir datos, programable, resolución de ecuaciones, operaciones con matrices, cálculo de determinantes, cálculo de derivadas e integrales, almacenamiento de datos alfanuméricos.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Primera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Discutir el sistema S(a)S(a) en función de aa, siendoS(a)={ax−y+2z=2x−2y−z=1x+2y+az=3S(a) = \begin{cases} ax - y + 2z = 2 \\ x - 2y - z = 1 \\ x + 2y + az = 3 \end{cases}Resolver en función de aa, mediante el método de Cramer, en los casos en que sea posible.
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Ejercicio 1 · Opción B

1Opción B
2,5 puntos
Primera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A1 o B1).

Sea M(α)M(\alpha) la matriz dada por M(α)=(1α1α1α0α1)M(\alpha) = \begin{pmatrix} 1 & \alpha & 1 \\ \alpha & 1 & \alpha \\ 0 & \alpha & 1 \end{pmatrix}
a
Determinar para qué valores de α\alpha la matriz no tiene inversa.1,25 pts
b
Calcular, si es posible, la matriz inversa para α=0\alpha = 0, y en caso de que no sea posible razonar por qué no es posible.1,25 pts
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Segunda parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

a
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (−1,2,3)(-1, 2, 3) y es paralelo a los vectores v⃗=(−1,−2,−3)\vec{v} = (-1, -2, -3) y w⃗=(1,3,5)\vec{w} = (1, 3, 5).1,75 pts
b
Hallar el valor de AA para que el plano calculado en el apartado anterior y Ax−y+5z=8Ax - y + 5z = 8 sean perpendiculares.0,75 pts
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Ejercicio 2 · Opción B

2Opción B
2,5 puntos
Segunda parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A2 o B2).

Sea π\pi el plano 2x−y+Az=02x - y + Az = 0. Sea rr la recta dada por r≡{4x−3y+4z=−13x−2y+z=−3r \equiv \begin{cases} 4x - 3y + 4z = -1 \\ 3x - 2y + z = -3 \end{cases} Hallar AA para que rr y π\pi sean paralelos. Además, obtener el plano perpendicular a rr y que pase por el origen.
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Tercera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Dada la función f(x)=ax3+bx2+cf(x) = ax^3 + bx^2 + c, obtener los valores de aa, bb y cc para que su gráfica pase por (0,2)(0, 2) y tenga un extremo en (1,−1)(1, -1). ¿Tiene ff más extremos?
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Ejercicio 3 · Opción B

3Opción B
2,5 puntos
Tercera parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A3 o B3).

Sea f(x)=x2+9f(x) = x^2 + 9 y PP el punto exterior a su gráfica de coordenadas P=(0,0)P = (0, 0). Calcular razonadamente la (o las) tangentes a la gráfica de ff que pasan por el punto PP.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Dibujar la región encerrada por f(x)=x2−2x+1f(x) = x^2 - 2x + 1 y g(x)=−x2+5g(x) = -x^2 + 5 y calcular el área de dicha región.
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Ejercicio 4 · Opción B

4Opción B
2,5 puntos
Cuarta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A4 o B4).

Calcular las integrales indefinidas II y JJ explicando los métodos usados para su resolución.I=∫xcos⁡(2x) dx,J=∫dxx2+2x−3I = \int x \cos(2x) \, dx, \quad J = \int \frac{dx}{x^2 + 2x - 3}
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Ejercicio 5 · Opción A

5Opción A
2,5 puntos
Quinta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En una empresa el 7070 por ciento de sus trabajadoras están satisfechas con su contrato, y entre las satisfechas con su contrato el 8080 por ciento gana más de 10001000 euros. Entre las no satisfechas solo el 2020 por ciento gana más de 10001000 euros. Si se elige una trabajadora al azar:
a
¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 10001000 euros?1 pt
b
Si gana más de 10001000 euros, ¿cuál es la probabilidad que esté satisfecha con su contrato?0,75 pts
c
¿Cuál es la probabilidad de que gane menos de 10001000 euros y esté satisfecha con su contrato?0,75 pts
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Quinta parte

Responde sólo a uno de los dos ejercicios (A5 o B5).

En un garaje hay 3030 aparcamientos. En cada aparcamiento puede encontrarse o no un automóvil, con independencia de lo que ocurra en los otros. Si la probabilidad de que un aparcamiento esté ocupado es de 0,40{,}4, se pide:
a
Identificar y describir este modelo de probabilidad.0,5 pts
b
Hallar la probabilidad de que cierto día haya 88 automóviles aparcados.1 pt
c
Hallar la probabilidad de que un día haya entre 1010 y 2020 automóviles aparcados.1 pt
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