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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2023Ordinaria

Matemáticas II · Andalucía 2023

8 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Este examen consta de 8 ejercicios distribuidos en 2 bloques (A y B) de 4 ejercicios cada uno. c) Cada ejercicio tiene un valor máximo de 2,5 puntos. d) Se realizarán únicamente cuatro ejercicios, independientemente del bloque al que pertenezcan. En caso de responder a más de cuatro ejercicios, se corregirán únicamente los cuatro que aparezcan físicamente en primer lugar. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, ni gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. f) En la puntuación máxima de cada ejercicio están contemplados 0,25 puntos para valorar la expresión correcta de los procesos y métodos utilizados.

Ejercicio 1 · Opción A

1Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por f(x)=1ex+e−x.f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}.
a
Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de ff (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).1,5 pts
b
Calcula lim⁡x→+∞(x2f(x))\lim_{x \to +\infty} (x^2 f(x)).1 pt
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Ejercicio 2 · Opción A

2Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Sea la función f:[−2,2]→Rf: [-2, 2] \to \mathbb{R}, definida por f(x)=x3−2x+5f(x) = x^3 - 2x + 5.
a
Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos (−2,f(−2))(-2, f(-2)) y (2,f(2))(2, f(2)).1,5 pts
b
Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de ff en el punto de inflexión.1 pt
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Ejercicio 3 · Opción A

3Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, definida por f(x)=x∣x−1∣f(x) = x|x - 1|. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa x=0x = 0.
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Ejercicio 4 · Opción A

4Opción A
2,5 puntos
Bloque A
Considera la función F:R→RF: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definida por F(x)=∫0xsen⁡(t2) dtF(x) = \int_{0}^{x} \operatorname{sen}(t^2) \, dt. Calcula lim⁡x→0xF(x)sen⁡(x2)\lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}.
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Ejercicio 5 · Opción B

5Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El 60%60\% de los coches blancos más el 50%50\% de los coches negros representan el 30%30\% de los coches vendidos. El 20%20\% de los coches blancos junto con el 60%60\% de los coches negros y el 60%60\% de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.
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Ejercicio 6 · Opción B

6Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera las matrices A=(00mm000m0)A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix} y B=(100001010)B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
a
Determina para qué valores de mm existe la inversa de la matriz AA.0,5 pts
b
Para todo m≠−1m \neq -1, resuelve, si es posible, la ecuación AX+X=BAX + X = B.2 pts
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Ejercicio 7 · Opción B

7Opción B
2,5 puntos
Bloque B
El plano perpendicular al segmento de extremos P(0,3,8)P(0, 3, 8) y Q(2,1,6)Q(2, 1, 6) que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos AA, BB y CC. Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos AA, BB y CC.
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Ejercicio 8 · Opción B

8Opción B
2,5 puntos
Bloque B
Considera el punto A(−1,1,3)A(-1, 1, 3) y la recta rr determinada por los puntos B(2,1,1)B(2, 1, 1) y C(0,1,−1)C(0, 1, -1).
a
Halla la distancia del punto AA a la recta rr.1,5 pts
b
Calcula el área del triángulo cuyos vértices son AA, BB y CC.1 pt
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