Matemáticas II · Andalucía 2023

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}}.$

Sea la función $f: [-2, 2] \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x^3 - 2x + 5$.

Considera la función $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definida por $f(x) = x|x - 1|$. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x = 0$.

Considera la función $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $F(x) = \int_{0}^{x} \operatorname{sen}(t^2) \, dt$. Calcula $\lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}$.

Una marca de vehículos ha vendido este mes coches de tres colores: blancos, negros y rojos. El $60\%$ de los coches blancos más el $50\%$ de los coches negros representan el $30\%$ de los coches vendidos. El $20\%$ de los coches blancos junto con el $60\%$ de los coches negros y el $60\%$ de los coches rojos representan la mitad de los coches vendidos. Se han vendido 100 coches negros más que blancos. Determina el número de coches vendidos de cada color.

Considera las matrices $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0, 3, 8)$ y $Q(2, 1, 6)$ que pasa por su punto medio corta a los ejes coordenados en los puntos $A$, $B$ y $C$. Halla el área del triángulo cuyos vértices son los puntos $A$, $B$ y $C$.

Considera el punto $A(-1, 1, 3)$ y la recta $r$ determinada por los puntos $B(2, 1, 1)$ y $C(0, 1, -1)$.