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la cuevadel empollón
Matemáticas IIAndalucíaPAU 2015Variante 4

Matemáticas II · Andalucía 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en la misma. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Se permitirá el uso de calculadoras que no sean programables, gráficas ni con capacidad para almacenar o transmitir datos. No obstante, todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para 13,513{,}5 metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Calcula ∫−x2x2+x−2dx\int \frac{-x^2}{x^2 + x - 2} dx.
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera el siguiente sistema de ecuaciones{λx+y−z=−1λx+λz=λx+y−λz=0\begin{cases} \lambda x + y - z = -1 \\ \lambda x + \lambda z = \lambda \\ x + y - \lambda z = 0 \end{cases}
a
Discute el sistema según los valores de λ\lambda.1,5 pts
b
Resuelve el sistema para λ=0\lambda = 0.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sean los puntos A(0,1,1)A(0, 1, 1), B(2,1,3)B(2, 1, 3), C(−1,2,0)C(-1, 2, 0) y D(2,1,m)D(2, 1, m).
a
Calcula mm para que AA, BB, CC y DD estén en un mismo plano.0,75 pts
b
Determina la ecuación del plano respecto del cual los puntos AA y BB son simétricos.0,75 pts
c
Calcula el área del triángulo de vértices AA, BB y CC.1 pt
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Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Sabiendo que lim⁡x→0ax2+bx+1−cos⁡(x)sec⁡(x2)\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\sec(x^2)} es finito e igual a uno, calcula los valores de aa y bb.
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Determina la función f:(0,∞)→Rf : (0, \infty) \to \mathbb{R} sabiendo que f′′(x)=ln⁡(x)f''(x) = \ln(x) y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto P(1,2)P(1, 2) (ln⁡\ln denota la función logaritmo neperiano).
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Considera las matricesA=(−122m)yB=(120−2m032m)A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}
a
Encuentra el valor, o los valores, de mm para los que AA y BB tienen el mismo rango.1,5 pts
b
Determina, si existen, los valores de mm para los que AA y BB tienen el mismo determinante.1 pt
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Sea el plano π≡2x+y−z+8=0\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0.
a
Calcula el punto P′P', simétrico del punto P(2,−1,5)P(2, -1, 5) respecto del plano π\pi.1,5 pts
b
Calcula la recta r′r', simétrica de la recta r≡x−2−2=y+13=z−51r \equiv \frac{x - 2}{-2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 5}{1} respecto del plano π\pi.1 pt
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