Matemáticas II · Andalucía 2015

Se quiere construir un depósito abierto de base cuadrada y paredes verticales con capacidad para $13{,}5$ metros cúbicos. Para ello se dispone de una chapa de acero de grosor uniforme. Calcula las dimensiones del depósito para que el gasto en chapa sea el mínimo posible.

Sabiendo que $\lim_{x \to 0} \frac{ax^2 + bx + 1 - \cos(x)}{\sec(x^2)}$ es finito e igual a uno, calcula los valores de $a$ y $b$.

Calcula $\int \frac{-x^2}{x^2 + x - 2} dx$.

Determina la función $f : (0, \infty) \to \mathbb{R}$ sabiendo que $f''(x) = \ln(x)$ y que su gráfica tiene tangente horizontal en el punto $P(1, 2)$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones $$\begin{cases} \lambda x + y - z = -1 \\ \lambda x + \lambda z = \lambda \\ x + y - \lambda z = 0 \end{cases}$$

Considera las matrices $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 2 & m \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & m & 0 \\ 3 & 2 & m \end{pmatrix}$$

Sean los puntos $A(0, 1, 1)$, $B(2, 1, 3)$, $C(-1, 2, 0)$ y $D(2, 1, m)$.

Sea el plano $\pi \equiv 2x + y - z + 8 = 0$.