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la cuevadel empollón
Matemáticas IINavarraPAU 2026Ordinaria

Matemáticas II · Navarra 2026

5 ejerciciosCon formulario

Instrucciones

Tiempo
No lo indica el examen
Qué responder
Responde a P1, P2 y P3. Elige una entre P4.1 y P4.2 y otra entre P5.1 y P5.2.
Puntuación
El examen no indica la puntuación.

Ejercicio P1

P1
Dada una hoja de papel de dimensiones 20 cm×30 cm20\,\text{cm}\times 30\,\text{cm}, calcula el lado del cuadrado a recortar en cada esquina de forma que la caja resultante de subir las solapas que quedan, sea de volumen máximo.
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Ejercicio P2

P2
Calcula los valores posibles de rr y tt para que ∣A∣+∣B∣=4|A|+|B|=4, sabiendo que:A=(tttt3+t−3+t2−15);A=\begin{pmatrix}t&t&t\\t&3+t&-3+t\\2&-1&5\end{pmatrix};B=(1+rr3r2−11rr3r)B=\begin{pmatrix}1+r&r&3r\\2&-1&1\\r&r&3r\end{pmatrix}
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Ejercicio P3

P3
Encuentra la ecuación continua de la recta tt que corta perpendicularmente a las rectasr≡x1=y+31=z−2−2r\equiv\frac{x}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z-2}{-2}ys={x=−4+3λy=1+λz=−1+2λλ∈R.s=\begin{cases}x=-4+3\lambda\\y=1+\lambda\\z=-1+2\lambda\end{cases}\quad\lambda\in\mathbb{R}.
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Ejercicio P4.1 o P4.2

P4.1oP4.2

Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

En un examen tipo test de 1010 preguntas, cada pregunta tiene para elegir 44 respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Si se responde al azar:
i
¿Cuál es la probabilidad de fallar todas?
ii
¿Cuál es la probabilidad de acertar 77 exactamente?
iii
Para aprobar se deben responder al menos 77 bien. ¿Cuál es la probabilidad de aprobar?
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Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Desde hace siglos, tal y como quedó reflejado en una sentencia de 1375, cada 13 de julio los habitantes de Bearne entregan tres vacas a los roncaleses, conociéndose tal tratado como el Tributo de las Tres Vacas o Iror Beien Emontarzuna (en roncalés). Dado que los habitantes del valle del Roncal hablaban roncalés (dialecto del euskera) y los habitantes de Bearne hablaban bearnés (dialecto del gascón), se cree que fueron los suletinos quienes, además de participar en el arbitraje junto con habitantes de Ansó, facilitaron las labores de traducción, pues es sabido que algunos de ellos hablaban tanto el suletino (dialecto del euskera cercano al roncalés) como el bearnés. Supongamos que se juntaron 55 bearneses, 55 roncaleses y 22 suletinos sobre la Piedra de San Martín. Suponiendo que los bearneses se comunican entre sí en bearnés, los roncaleses en euskera y que los suletinos también hablaban entre ellos únicamente en euskera (pero siendo estos últimos capaces de comunicarse en bearnés con los habitantes de Bearne), responde:
i
Cogiendo dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se comuniquen en euskera?
ii
Cogiendo dos personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se comuniquen en bearnés?
iii
En 1375, tras firmar la paz, los 55 roncaleses y 55 bearneses se fueron a la cantina de Joantxo a celebrarlo. Si en una mesa han sido sentados tres ellos al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no hablen todos el mismo idioma?
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Ejercicio P5.1 o P5.2

P5.1oP5.2

Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

El pintor Coreano Tokien-co Lorelari idea sus cuadros mediante funciones matemáticas. El cuadro mostrado (conformado por cielo azul, sol amarillo, monte verde y mar azul oscuro) está compuesto por las curvas correspondientes a las siguientes tres ecuaciones:y=0,15+120cos⁡(4πx);y=0{,}15+\frac{1}{20}\cos(4\pi x);(x−0,3)2+(y−0,7)2=1100;(x-0{,}3)^2+(y-0{,}7)^2=\frac{1}{100};y=0,2+x⋅∣sin⁡(2πx)∣y=0{,}2+x\cdot|\sin(2\pi x)|Asocia cada curva con su ecuación. ¿Qué porcentaje del cuadro es monte visible (verde)?
Cuadro con un sol circular rayado, dos montes y el mar, representado en unos ejes de 0 a 1.
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Responde P1, P2 y P3, una de entre P4.1 y P4.2 y otra de entre P5.1 y P5.2.

Sea f(x)=log⁡2(x⋅(sin⁡(πx)+2))f(x)=\log_2(x\cdot(\sin(\pi x)+2)). Demuestra que existe un punto cc en [2,4][2,4] tal que f′(c)=12f'(c)=\frac{1}{2}.
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Formulario

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AYUDA Volumen de una esfera: 43πR3\frac{4}{3}\pi R^3 Área de una esfera: 4πR24\pi R^2 Ecuación de circunferencia de radio RR centrada en (a,b)(a, b): (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2 Z∼N(0,1)Z\sim N(0,1)P(Z<k)=12π∫−∞ke−t2/2 dtP(Z<k)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{k}e^{-t^2/2}\,dt
kk0123456789
−3,50,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,00020,0002
−3,40,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,00030,0002
−3,30,00050,00050,00050,00040,00040,00040,00040,00040,00040,0003
−3,20,00070,00070,00060,00060,00060,00060,00060,00050,00050,0005
−3,10,00100,00090,00090,00090,00080,00080,00080,00080,00070,0007
−3,00,00130,00130,00130,00120,00120,00110,00110,00110,00100,0010
−2,90,00190,00180,00180,00170,00160,00160,00150,00150,00140,0014
−2,80,00260,00250,00240,00230,00230,00220,00210,00210,00200,0019
−2,70,00350,00340,00330,00320,00310,00300,00290,00280,00270,0026
−2,60,00470,00450,00440,00430,00410,00400,00390,00380,00370,0036
−2,50,00620,00600,00590,00570,00550,00540,00520,00510,00490,0048
−2,40,00820,00800,00780,00750,00730,00710,00690,00680,00660,0064
−2,30,01070,01040,01020,00990,00960,00940,00910,00890,00870,0084
−2,20,01390,01360,01320,01290,01250,01220,01190,01160,01130,0110
−2,10,01790,01740,01700,01660,01620,01580,01540,01500,01460,0143
−2,00,02280,02220,02170,02120,02070,02020,01970,01920,01880,0183
−1,90,02870,02810,02740,02680,02620,02560,02500,02440,02390,0233
−1,80,03590,03510,03440,03360,03290,03220,03140,03070,03010,0294
−1,70,04460,04360,04270,04180,04090,04010,03920,03840,03750,0367
−1,60,05480,05370,05260,05160,05050,04950,04850,04750,04650,0455
−1,50,06680,06550,06430,06300,06180,06060,05940,05820,05710,0559
−1,40,08080,07930,07780,07640,07490,07350,07210,07080,06940,0681
−1,30,09680,09510,09340,09180,09010,08850,08690,08530,08380,0823
−1,20,11510,11310,11120,10930,10750,10560,10380,10200,10030,0985
−1,10,13570,13350,13140,12920,12710,12510,12300,12100,11900,1170
−1,00,15870,15620,15390,15150,14920,14690,14460,14230,14010,1379
−0,90,18410,18140,17880,17620,17360,17110,16850,16600,16350,1611
−0,80,21190,20900,20610,20330,20050,19770,19490,19220,18940,1867
−0,70,24200,23890,23580,23270,22960,22660,22360,22060,21770,2148
−0,60,27430,27090,26760,26430,26110,25780,25460,25140,24830,2451
−0,50,30850,30500,30150,29810,29460,29120,28770,28430,28100,2776
−0,40,34460,34090,33720,33360,33000,32640,32280,31920,31560,3121
−0,30,38210,37830,37450,37070,36690,36320,35940,35570,35200,3483
−0,20,42070,41680,41290,40900,40520,40130,39740,39360,38970,3859
−0,10,46020,45620,45220,44830,44430,44040,43640,43250,42860,4247
−0,00,50000,49600,49200,48800,48400,48010,47610,47210,46810,4641
kk0123456789
0,00,50000,50400,50800,51200,51600,51990,52390,52790,53190,5359
0,10,53980,54380,54780,55170,55570,55960,56360,56750,57140,5753
0,20,57930,58320,58710,59100,59480,59870,60260,60640,61030,6141
0,30,61790,62170,62550,62930,63310,63680,64060,64430,64800,6517
0,40,65540,65910,66280,66640,67000,67360,67720,68080,68440,6879
0,50,69150,69500,69850,70190,70540,70880,71230,71570,71900,7224
0,60,72570,72910,73240,73570,73890,74220,74540,74860,75170,7549
0,70,75800,76110,76420,76730,77040,77340,77640,77940,78230,7852
0,80,78810,79100,79390,79670,79950,80230,80510,80780,81060,8133
0,90,81590,81860,82120,82380,82640,82890,83150,83400,83650,8389
1,00,84130,84380,84610,84850,85080,85310,85540,85770,85990,8621
1,10,86430,86650,86860,87080,87290,87490,87700,87900,88100,8830
1,20,88490,88690,88880,89070,89250,89440,89620,89800,89970,9015
1,30,90320,90490,90660,90820,90990,91150,91310,91470,91620,9177
1,40,91920,92070,92220,92360,92510,92650,92790,92920,93060,9319
1,50,93320,93450,93570,93700,93820,93940,94060,94180,94290,9441
1,60,94520,94630,94740,94840,94950,95050,95150,95250,95350,9545
1,70,95540,95640,95730,95820,95910,95990,96080,96160,96250,9633
1,80,96410,96490,96560,96640,96710,96780,96860,96930,96990,9706
1,90,97130,97190,97260,97320,97380,97440,97500,97560,97610,9767
2,00,97720,97780,97830,97880,97930,97980,98030,98080,98120,9817
2,10,98210,98260,98300,98340,98380,98420,98460,98500,98540,9857
2,20,98610,98640,98680,98710,98750,98780,98810,98840,98870,9890
2,30,98930,98960,98980,99010,99040,99060,99090,99110,99130,9916
2,40,99180,99200,99220,99250,99270,99290,99310,99320,99340,9936
2,50,99380,99400,99410,99430,99450,99460,99480,99490,99510,9952
2,60,99530,99550,99560,99570,99590,99600,99610,99620,99630,9964
2,70,99650,99660,99670,99680,99690,99700,99710,99720,99730,9974
2,80,99740,99750,99760,99770,99770,99780,99790,99790,99800,9981
2,90,99810,99820,99820,99830,99840,99840,99850,99850,99860,9986
3,00,99870,99870,99870,99880,99880,99890,99890,99890,99900,9990
3,10,99900,99910,99910,99910,99920,99920,99920,99920,99930,9993
3,20,99930,99930,99940,99940,99940,99940,99940,99950,99950,9995
3,30,99950,99950,99950,99960,99960,99960,99960,99960,99960,9997
3,40,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,99970,9998
3,50,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,99980,9998
Ilustración de la normal tipificada Curva de densidad de campana y distribución acumulada creciente, con marcas verticales en 0,5 y 1. Se sombrea el área bajo la densidad a la izquierda de k, situado a la izquierda del eje vertical. 1 0,5 k