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la cuevadel empollón
Matemáticas IILa RiojaPAU 2025Extraordinaria

Matemáticas II · La Rioja 2025

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
En total el examen consta de 10 preguntas optativas del mismo valor, de las que el/la estudiante deberá elegir un máximo de 5 preguntas, cualesquiera de ellas. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo máximo: 1 hora y 30 minutos.

Ejercicio 1

1
2,5 puntos
Bloque obligatorioEstadística y probabilidad
APARTADO 1. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (2,5 puntos) Para iluminar una estancia se requiere instalar focos. El tiempo de vida de los focos es una variable normal con media de 2000 horas. Se sabe que, tomando un foco al azar, la probabilidad de que luzca más de 1800 horas es 0.8289. Calcula: a) la desviación típica de la distribución. (1 punto) b) cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90. (0.5 puntos) c) el porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas. (1 punto) (Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)
a
la desviación típica de la distribución.1 pt
b
cuántas horas de vida debe tener un foco para estar en el percentil 90.0,5 pts
c
el porcentaje de focos que no tendrán una duración aceptable, considerando como duración aceptable al menos 1600 horas.1 pt
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Ejercicio 2

2
2,5 puntos
Bloque con optatividad 1: análisis

Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2

APARTADO 2. ANÁLISIS (2.5 puntos) Responda a uno de los dos apartados 2.1 o 2.2
(2.5 puntos) Un campo de atletismo de 1 km de perímetro consiste en un rectángulo con un semicírculo en cada uno de los dos lados opuestos. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible.2,5 pts
(2.5 puntos) Sea la curva y = Ax - x², A ∈ ℝ⁺. Determina el valor de A para que el área encerrada entre la curva y y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva.2,5 pts
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Ejercicio 3

3
2,5 puntos
Bloque con optatividad 2: números y álgebra

Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2

APARTADO 3. NÚMEROS Y ÁLGEBRA (2.5 puntos) Responda a uno de los dos apartados 3.1 o 3.2
Responda a los dos subapartados siguientes.2,5 pts
a
Dadas las matrices A = [[1,5],[4,2]] y B = [[-1,0],[3,6]], halla las matrices X e Y soluciones del sistema: 2X - 3Y = A X - Y = B1,25 pts
b
En una fábrica se produce queso y mantequilla. Para fabricar una unidad de queso se precisan 10 unidades de leche y 6 horas de mano de obra. Para la mantequilla, se necesitan 5 unidades de leche y 8 horas de mano de obra por unidad. Sabiendo que tenemos disponibles cada día 100000 unidades de leche y 110000 horas de mano de obra, calcular la producción posible de queso y de mantequilla considerando que utilizamos todo lo disponible.1,25 pts
Responda a los dos subapartados siguientes.2,5 pts
a
Dadas las matrices A = [[2,0],[0,-1]] y B = [[8,-9],[6,-7]], halla las matrices X y X⁻¹ tal que XAX⁻¹ = B.1,25 pts
b
Determina la relación entre a y b, con a, b ∈ ℝ conocidos, para que el sistema: 2x + y - 3z = a -2x - y + 3z = b sea compatible. ¿Puede ser compatible determinado?1,25 pts
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Ejercicio 4

4
2,5 puntos
Bloque con optatividad 3: geometría

Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2

APARTADO 4. GEOMETRÍA (2.5 puntos) Responda a uno de los dos apartados 4.1 o 4.2
Responda a los dos subapartados siguientes.2,5 pts
a
Dados los planos de ecuaciones: x + y + z = 2 2x + y - z = 4 mx + y + 3z = 6 x - 2z = m Determina el valor del parámetro m para que los planos se corten en un punto. En este caso, determina el punto de corte.1,25 pts
b
Calcula la distancia de la recta r ≡ (x-3)/(-1) = (y-1)/2 = (z+2)/5 al plano π: -x - 3y + z + 4 = 0.1,25 pts
Responda a los tres subapartados siguientes.2,5 pts
a
Dado el punto P ≡ (0, 2, 1), halla la ecuación del plano que contiene a P y es paralelo a π: 2x - 5y + z + 3 = 0.0,5 pts
b
Dado el punto P ≡ (1.0, -3) halla la ecuación del plano que contiene a P y es perpendicular a la recta r: 5x + y - z = 4 2x - 2y - z = 50,5 pts
c
Calcula la distancia entre las rectas: r ≡ x = 5 + λ, y = -1, z = 8 + 2λ s ≡ x = 2 + 3μ, y = 2 - μ, z = -1 + 4μ1,5 pts
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