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la cuevadel empollón
Matemáticas IIGaliciaPAU 2015Ordinaria

Matemáticas II · Galicia 2015

4 ejercicios90 min de duración

Instrucciones

Tiempo
1 hora y 30 minutos
El alumno/a debe responder solo a los ejercicios de una de las dos opciones. Puntuación máxima de los ejercicios de cada opción: ejercicio 1 = 3 puntos, ejercicio 2 = 3 puntos, ejercicio 3 = 2 puntos, ejercicio 4 = 2 puntos.
Elige una opción

Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Determina para qué valores de a,ba, b y cc la matriz A=(ab0c)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} verifica la relación (A−2I)2=0(A - 2I)^2 = 0, siendo II la matriz identidad de orden 2 y 00 la matriz nula de orden 2.1 pt
b
¿Cuál es la solución de un sistema homogéneo de dos ecuaciones con dos incógnitas, si la matriz de coeficientes es una matriz A=(ab0c)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} verificando la relación (A−2I)2=0(A - 2I)^2 = 0?0,5 pts
c
Para a=b=c=2a = b = c = 2 calcula la matriz XX que verifica A⋅X=A−1⋅BA \cdot X = A^{-1} \cdot B, siendo B=(410014)B = \begin{pmatrix} 4 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix}.1,5 pts
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dada la recta r:{x=3−2λy=1−λz=4+λr: \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = 1 - \lambda \\ z = 4 + \lambda \end{cases}
a
Determina la ecuación implícita del plano π\pi que pasa por el punto P(2,1,2)P(2,1,2) y es perpendicular a rr. Calcula el punto de intersección de rr y π\pi.1 pt
b
Calcula la distancia del punto P(2,1,2)P(2,1,2) a la recta rr.1 pt
c
Calcula el punto simétrico del punto P(2,1,2)P(2,1,2) respecto a la recta rr.1 pt
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Ejercicio 3

3
2 puntos
Dibuja la gráfica de f(x)=2x2x−1f(x) = \frac{2x^2}{x - 1} estudiando: dominio, simetrías, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos, puntos de inflexión e intervalos de concavidad y convexidad.
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Ejercicio 4

4
2 puntos
a
Define primitiva de una función y enuncia la regla de Barrow.1 pt
b
Dada la función f(x)=ax3+bx+cf(x) = ax^3 + bx + c, determina a,ba, b y cc sabiendo que y=2x+1y = 2x + 1 es la recta tangente a la gráfica de f(x)f(x) en el punto correspondiente a la abscisa x=0x = 0 y que ∫01f(x)dx=1\int_{0}^{1} f(x) dx = 1.1 pt
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Ejercicio 1

1
3 puntos
a
Discute, según los valores de mm, el sistema:{x+y−z=1x+my+3z=m2x+3y+mz=3\begin{cases} x + y - z = 1 \\ x + my + 3z = m \\ 2x + 3y + mz = 3 \end{cases}2 pts
b
Resuélvelo, si es posible, para m=2m = 2.1 pt
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Ejercicio 2

2
3 puntos
Dadas las rectas r:{x=3+λy=−1z=4+2λr: \begin{cases} x = 3 + \lambda \\ y = -1 \\ z = 4 + 2\lambda \end{cases} y s:x−43=y−3−1=z−54s: \frac{x - 4}{3} = \frac{y - 3}{-1} = \frac{z - 5}{4}
a
Estudia su posición relativa. Calcula la ecuación implícita o general del plano que pasa por el origen de coordenadas y es paralelo a rr y a ss.1,5 pts
b
Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que corta perpendicularmente a rr y a ss.1,5 pts
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Ejercicio 3

3
2 puntos
a
Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.1 pt
b
Calcula los valores de bb y cc para que la funciónf(x)={ln⁡(e+x2)si x<0x2+bx+csi x≥0f(x) = \begin{cases} \ln(e + x^2) & \text{si } x < 0 \\ x^2 + bx + c & \text{si } x \geq 0 \end{cases}sea derivable en x=0x = 0. (Nota: ln⁡\ln = logaritmo neperiano)1 pt
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Ejercicio 4

4
2 puntos
La gráfica de una función f(x)f(x) pasa por el origen de coordenadas y su derivada es f′(x)=(2−x)e3xf'(x) = (2 - x)e^{3x}. Determina la función f(x)f(x) y calcula los intervalos de concavidad y convexidad de f(x)f(x).
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